이 계산기의 기능
이 도구는 수소꼴 원자의 속박 상태 전자 파동함수를 계산합니다. 이는 전하 Z를 갖는 점 핵 주위를 도는 단일 전자에 대한 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해입니다. 완전한 파동함수는 동경(radial) 부분과 각(angular) 부분으로 분리됩니다: \(\Psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta, \phi)\). 수소(\(Z = 1\))와 헬륨 이온 He+(\(Z = 2\))에 대해 동작합니다. 거리는 보어 반지름 단위(\(a = 1\))로 표현하므로 \(\Psi\)는 원자 단위계와 비슷한 \(a^{-3/2}\) 단위로 나옵니다.
사용 방법
먼저 핵전하 \(Z\)를 선택한 뒤, 세 가지 양자수를 입력하세요. 주양자수 \(n\)(1, 2, 3, ...), 방위 양자수(궤도 양자수) \(l\)(0부터 \(n-1\)까지), 자기 양자수 \(m\)(\(-l\)부터 \(+l\)까지)입니다. 마지막으로 파동함수를 구하려는 공간상의 점을 입력합니다. 보어 반지름 단위의 동경 거리 \(r\), 도(°) 단위의 극각 \(\theta\)(0~180), 도(°) 단위의 방위각 \(\phi\)(0~360)를 넣으면 됩니다. 계산기는 \(\Psi\)의 크기, 실수부, 허수부와 함께 동경 밀도 시각화를 위한 \(r \cdot \Psi\) 값을 돌려줍니다.
공식 설명
동경 함수 \(R_{nl}(r)\)은 규격화 상수, 감쇠 지수함수 \(e^{-Zr/(na)}\), 거듭제곱 인자 \(\rho^l\)(여기서 \(\rho = 2Zr/(na)\)), 그리고 유한합으로 계산되는 버금 라게르 다항식 \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\)으로 이루어집니다.
$$\begin{gathered} \psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
각 함수 \(Y_l^m\)은 버금 르장드르 함수 \(P_l^m(\cos\theta)\)와 복소 위상 \(e^{im\phi}\)를 사용합니다. \(m = 0\)일 때 결과는 순수한 실수이며, \(m\)이 0이 아니면 위상을 가지므로 실수부, 허수부, 크기를 함께 보여줍니다. 참고로 확률 밀도인 \(|\Psi|^2\)는 \(\phi\)에 의존하지 않습니다.
예제 풀이 (1s 바닥 상태)
\(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\)으로 설정해 봅시다. 그러면 \(\rho = 2\)이고, 동경 앞 계수는 \(\sqrt{8 \times 1 / (2 \times 1)} = 2\)(선행 음의 부호를 포함하면 \(-2\)), \(e^{-1} = 0.367879\), 라게르 다항식 \(L_0^1(2) = 1\)이 되어 \(R_{10}(1) = -0.735759\)입니다. 구면 조화 함수 \(Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095\)입니다. 이를 곱하면 \(\Psi = -0.207538\)이고 크기는 \(0.207538\)로, 교과서에 나오는 \(r = 1\)에서의 1s 값 \((1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}\)와 일치합니다.
자주 묻는 질문
결과가 가끔 음수로 나오는 이유는? 이 계산기는 \(R_{nl}\)에 흔히 쓰이는 선행 음의 부호 관례를 따릅니다. \(|\Psi|^2\) 같은 물리적 관측량은 전체 부호의 영향을 받지 않습니다.
\(\Psi\)의 단위는 무엇인가요? 보어 반지름을 \(a = 1\)로 두면 \(\Psi\)는 \(a^{-3/2}\) 단위입니다. SI 값을 얻으려면 \(r\)에 \(a_0 = 5.29177\text{e-}11 \text{ m}\)를 곱하고 \(\Psi\)에 \(a_0^{-3/2}\)를 곱하면 됩니다.
\(l\)이 큰 상태는 왜 \(r = 0\)에서 사라지나요? \(\rho^l\) 인자 때문에 \(l > 0\)일 때 \(R_{nl}\)이 원점에서 0이 됩니다. 핵 위치에서 0이 아닌 밀도를 갖는 것은 s 상태(\(l = 0\))뿐입니다.
