이 계산기의 기능

이 도구는 수소꼴 원자의 속박 상태 전자 파동함수를 계산합니다. 이는 전하 Z를 갖는 점 핵 주위를 도는 단일 전자에 대한 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해입니다. 완전한 파동함수는 동경(radial) 부분과 각(angular) 부분으로 분리됩니다: $\Psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta, \phi)$. 수소($Z = 1$)와 헬륨 이온 He+($Z = 2$)에 대해 동작합니다. 거리는 보어 반지름 단위($a = 1$)로 표현하므로 $\Psi$는 원자 단위계와 비슷한 $a^{-3/2}$ 단위로 나옵니다.

사용 방법

먼저 핵전하 $Z$를 선택한 뒤, 세 가지 양자수를 입력하세요. 주양자수 $n$(1, 2, 3, ...), 방위 양자수(궤도 양자수) $l$(0부터 $n-1$까지), 자기 양자수 $m$($-l$부터 $+l$까지)입니다. 마지막으로 파동함수를 구하려는 공간상의 점을 입력합니다. 보어 반지름 단위의 동경 거리 $r$, 도(°) 단위의 극각 $\theta$(0~180), 도(°) 단위의 방위각 $\phi$(0~360)를 넣으면 됩니다. 계산기는 $\Psi$의 크기, 실수부, 허수부와 함께 동경 밀도 시각화를 위한 $r \cdot \Psi$ 값을 돌려줍니다.

공식 설명

동경 함수 $R_{nl}(r)$은 규격화 상수, 감쇠 지수함수 $e^{-Zr/(na)}$, 거듭제곱 인자 $\rho^l$(여기서 $\rho = 2Zr/(na)$), 그리고 유한합으로 계산되는 버금 라게르 다항식 $L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$으로 이루어집니다.

$$\begin{gathered} \psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

각 함수 $Y_l^m$은 버금 르장드르 함수 $P_l^m(\cos\theta)$와 복소 위상 $e^{im\phi}$를 사용합니다. $m = 0$일 때 결과는 순수한 실수이며, $m$이 0이 아니면 위상을 가지므로 실수부, 허수부, 크기를 함께 보여줍니다. 참고로 확률 밀도인 $|\Psi|^2$는 $\phi$에 의존하지 않습니다.

파동함수를 동경 부분 R과 각 부분 Y의 곱으로 나타낸 도식 — 파동함수는 동경함수 R(r)와 각함수 Y로 분리된다.

예제 풀이 (1s 바닥 상태)

$Z = 1$, $n = 1$, $l = 0$, $m = 0$, $r = 1$, $\theta = 0$, $\phi = 0$으로 설정해 봅시다. 그러면 $\rho = 2$이고, 동경 앞 계수는 $\sqrt{8 \times 1 / (2 \times 1)} = 2$(선행 음의 부호를 포함하면 $-2$), $e^{-1} = 0.367879$, 라게르 다항식 $L_0^1(2) = 1$이 되어 $R_{10}(1) = -0.735759$입니다. 구면 조화 함수 $Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095$입니다. 이를 곱하면 $\Psi = -0.207538$이고 크기는 $0.207538$로, 교과서에 나오는 $r = 1$에서의 1s 값 $(1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}$와 일치합니다.

구형 1s 오비탈 전자구름과 반지름에 따라 감소하는 확률 곡선 — 1s 바닥상태: 원자핵에서 가장 짙은 구형 대칭 전자구름.

자주 묻는 질문

결과가 가끔 음수로 나오는 이유는? 이 계산기는 $R_{nl}$에 흔히 쓰이는 선행 음의 부호 관례를 따릅니다. $|\Psi|^2$ 같은 물리적 관측량은 전체 부호의 영향을 받지 않습니다.

$\Psi$의 단위는 무엇인가요? 보어 반지름을 $a = 1$로 두면 $\Psi$는 $a^{-3/2}$ 단위입니다. SI 값을 얻으려면 $r$에 $a_0 = 5.29177\text{e-}11 \text{ m}$를 곱하고 $\Psi$에 $a_0^{-3/2}$를 곱하면 됩니다.

$l$이 큰 상태는 왜 $r = 0$에서 사라지나요? $\rho^l$ 인자 때문에 $l > 0$일 때 $R_{nl}$이 원점에서 0이 됩니다. 핵 위치에서 0이 아닌 밀도를 갖는 것은 s 상태($l = 0$)뿐입니다.

Real part of Ψ	-0.207554
Imaginary part of Ψ	-0
r·Ψ magnitude	0.207554 a^(-1/2)
r·Ψ real part	-0.207554
r·Ψ imaginary part	-0

수소 원자 파동함수 계산기

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