수소 원자 동경 전자 분포 계산기

계산 입력

핵전하 Z (원소) Hydrogen H (Z=1) Helium ion He+ (Z=2)

주양자수 n

방위양자수 l

초기 r (보어 반지름)

스텝 (r 증가 간격)

점의 개수

결과

최대 동경 확률밀도 D(r)

0.541341

at r ≈ 1 Bohr radii

핵전하 Z	1
양자수 (n, l)	1, 0
계수 P	2
Approx ∫ D(r) dr (norm check)	0.9999

r (a)	Rnl(r)	D(r)	D(r) 그래프
0	-2	0
0.2	-1.637462	0.107251
0.4	-1.34064	0.287571
0.6	-1.097623	0.43372
0.8	-0.898658	0.516855
1	-0.735759	0.541341
1.2	-0.602388	0.522535
1.4	-0.493194	0.476751
1.6	-0.403793	0.417405
1.8	-0.330598	0.354115
2	-0.270671	0.29305
2.2	-0.221606	0.237689
2.4	-0.181436	0.189613
2.6	-0.148547	0.149168
2.8	-0.12162	0.115965
3	-0.099574	0.089235
3.2	-0.081524	0.068057
3.4	-0.066747	0.051501
3.6	-0.054647	0.038703
3.8	-0.044742	0.028906
4	-0.036631	0.02147
4.2	-0.029991	0.015867
4.4	-0.024555	0.011673
4.6	-0.020104	0.008552
4.8	-0.016459	0.006242
5	-0.013476	0.00454
5.2	-0.011033	0.003292
5.4	-0.009033	0.002379
5.6	-0.007396	0.001715
5.8	-0.006055	0.001233
6	-0.004958	0.000885
6.2	-0.004059	0.000633
6.4	-0.003323	0.000452
6.6	-0.002721	0.000322
6.8	-0.002228	0.000229
7	-0.001824	0.000163
7.2	-0.001493	0.000116
7.4	-0.001223	0.000082
7.6	-0.001001	0.000058
7.8	-0.000819	0.000041
8	-0.000671	0.000029
8.2	-0.000549	0.00002
8.4	-0.00045	0.000014
8.6	-0.000368	0.00001
8.8	-0.000301	0.000007
9	-0.000247	0.000005
9.2	-0.000202	0.000003
9.4	-0.000165	0.000002
9.6	-0.000135	0.000002
9.8	-0.000111	0.000001
10	-0.000091	0.000001
10.2	-0.000074	0.000001
10.4	-0.000061	0
10.6	-0.00005	0
10.8	-0.000041	0
11	-0.000033	0
11.2	-0.000027	0
11.4	-0.000022	0
11.6	-0.000018	0
11.8	-0.000015	0
12	-0.000012	0
12.2	-0.00001	0
12.4	-0.000008	0
12.6	-0.000007	0
12.8	-0.000006	0
13	-0.000005	0
13.2	-0.000004	0
13.4	-0.000003	0
13.6	-0.000002	0
13.8	-0.000002	0
14	-0.000002	0
14.2	-0.000001	0
14.4	-0.000001	0
14.6	-0.000001	0
14.8	-0.000001	0
15	-0.000001	0
15.2	-0.000001	0
15.4	-0	0
15.6	-0	0
15.8	-0	0
16	-0	0
16.2	-0	0
16.4	-0	0
16.6	-0	0
16.8	-0	0
17	-0	0
17.2	-0	0
17.4	-0	0
17.6	-0	0
17.8	-0	0
18	-0	0
18.2	-0	0
18.4	-0	0
18.6	-0	0
18.8	-0	0
19	-0	0
19.2	-0	0
19.4	-0	0
19.6	-0	0
19.8	-0	0
20	-0	0

이 계산기가 하는 일

이 도구는 수소형 원자, 즉 전하 Z를 가진 원자핵에 전자 하나가 묶여 있는 계(수소 H나 헬륨 이온 He+ 등)의 양자역학적 파동함수 중 동경(반지름) 부분을 계산합니다. 동경 파동함수 \(R_{n\ell}(r)\)과 동경 확률밀도 \(D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}\)를 여러 반지름 구간에서 표본화해 구하고, 간단한 막대그래프로 그려 줍니다. 특정 국가의 규정이나 가정이 전혀 없는 보편적인 물리 계산 도구이며, 모든 거리는 보어 반지름 단위(\(a = 1\))로 표현됩니다.

사용 방법

먼저 원자핵을 고릅니다(\(Z = 1\)인 H 또는 \(Z = 2\)인 He+). 그다음 주양자수 \(n\)(1, 2, 3, …)과 방위양자수 \(\ell\)(0부터 \(n-1\)까지)을 입력합니다. 시작 반지름, 증가 간격(스텝), 표본 점의 개수를 설정하면, 계산기가 \(r\), \(R_{n\ell}(r)\), \(D(r)\)로 이루어진 표를 만들어 \(D(r)\)이 최대가 되는 반지름을 강조해 보여 줍니다. 또한 검산 용도로 정규화 적분의 근삿값도 함께 표시합니다.

공식 설명

치환 \(x = 2Zr/n\)을 쓰면 동경 함수는 다음과 같이 나타납니다.

$$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$

여기서 앞선 계수는

$$P = \sqrt{\left(\frac{2Z}{n}\right)^{3}\frac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$

이고, \(L\)은 라게르 결합 다항식(associated Laguerre polynomial)입니다. 맨 앞의 마이너스 부호는 단지 위상(phase) 약속일 뿐이며 \(|R_{n\ell}|^{2}\)에는 영향을 주지 않습니다. 여기에 \(r^{2}\)을 곱하면 \(D(r)\), 즉 전자를 반지름 \(r\)과 \(r+dr\) 사이의 얇은 껍질에서 발견할 확률이 됩니다.

인자 \(r^{2}\)은 핵 주위 반지름 \(r\)인 얇은 구각의 부피에서 나온다.

여러 수소 오비탈의 지름 확률밀도 \(D(r) = r^{2}[R_{n\ell}(r)]^{2}\), 봉우리와 지름 마디를 보여줌.

계산 예시

수소의 1s 궤도(\(Z = 1\), \(n = 1\), \(\ell = 0\))에서 \(r = 1\) 보어 반지름인 경우를 봅시다. \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\) 이므로 다음과 같습니다.

$$R = -2e^{-1} = -0.73576$$$$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134$$

이 값은 실제로 1s 궤도에서 \(D(r)\)의 최댓값이며, 전자가 발견될 가능성이 가장 높은 반지름이 정확히 보어 반지름 하나임을 보여 줍니다.

자주 묻는 질문

\(D(r)\)의 최댓값이 왜 \(r = 0\)이 아닌가요? 1s 궤도에서 \(|R_{n\ell}|^{2}\) 자체는 원자핵 근처에서 가장 크지만, 껍질의 부피 인자인 \(r^{2}\)이 원점에서 0이 되기 때문에 \(D(0) = 0\)이 됩니다. 그 결과 확률은 0이 아닌 유한한 반지름에서 최댓값을 갖습니다.

어떤 단위를 쓰나요? 모든 값이 보어 반지름 단위(\(a = 1\))입니다. 따라서 \(r\), 스텝, 최대 반지름은 모두 보어 반지름(약 0.529 옹스트롬)의 무차원 배수로 표현됩니다.

정규화 검산값이 왜 정확히 1이 아닌가요? 적분을 사용자가 고른 표본 점들에 대한 단순한 직사각형 합으로 근사하기 때문입니다. 구간을 넓히고 스텝을 작게 잡으면 1에 더 가까워집니다.