이 계산기가 하는 일
이 도구는 수소형 원자, 즉 전하 Z를 가진 원자핵에 전자 하나가 묶여 있는 계(수소 H나 헬륨 이온 He+ 등)의 양자역학적 파동함수 중 동경(반지름) 부분을 계산합니다. 동경 파동함수 \(R_{n\ell}(r)\)과 동경 확률밀도 \(D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}\)를 여러 반지름 구간에서 표본화해 구하고, 간단한 막대그래프로 그려 줍니다. 특정 국가의 규정이나 가정이 전혀 없는 보편적인 물리 계산 도구이며, 모든 거리는 보어 반지름 단위(\(a = 1\))로 표현됩니다.
사용 방법
먼저 원자핵을 고릅니다(\(Z = 1\)인 H 또는 \(Z = 2\)인 He+). 그다음 주양자수 \(n\)(1, 2, 3, …)과 방위양자수 \(\ell\)(0부터 \(n-1\)까지)을 입력합니다. 시작 반지름, 증가 간격(스텝), 표본 점의 개수를 설정하면, 계산기가 \(r\), \(R_{n\ell}(r)\), \(D(r)\)로 이루어진 표를 만들어 \(D(r)\)이 최대가 되는 반지름을 강조해 보여 줍니다. 또한 검산 용도로 정규화 적분의 근삿값도 함께 표시합니다.
공식 설명
치환 \(x = 2Zr/n\)을 쓰면 동경 함수는 다음과 같이 나타납니다.
$$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$여기서 앞선 계수는
$$P = \sqrt{\left(\frac{2Z}{n}\right)^{3}\frac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$이고, \(L\)은 라게르 결합 다항식(associated Laguerre polynomial)입니다. 맨 앞의 마이너스 부호는 단지 위상(phase) 약속일 뿐이며 \(|R_{n\ell}|^{2}\)에는 영향을 주지 않습니다. 여기에 \(r^{2}\)을 곱하면 \(D(r)\), 즉 전자를 반지름 \(r\)과 \(r+dr\) 사이의 얇은 껍질에서 발견할 확률이 됩니다.
계산 예시
수소의 1s 궤도(\(Z = 1\), \(n = 1\), \(\ell = 0\))에서 \(r = 1\) 보어 반지름인 경우를 봅시다. \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\) 이므로 다음과 같습니다.
$$R = -2e^{-1} = -0.73576$$$$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134$$이 값은 실제로 1s 궤도에서 \(D(r)\)의 최댓값이며, 전자가 발견될 가능성이 가장 높은 반지름이 정확히 보어 반지름 하나임을 보여 줍니다.
자주 묻는 질문
\(D(r)\)의 최댓값이 왜 \(r = 0\)이 아닌가요? 1s 궤도에서 \(|R_{n\ell}|^{2}\) 자체는 원자핵 근처에서 가장 크지만, 껍질의 부피 인자인 \(r^{2}\)이 원점에서 0이 되기 때문에 \(D(0) = 0\)이 됩니다. 그 결과 확률은 0이 아닌 유한한 반지름에서 최댓값을 갖습니다.
어떤 단위를 쓰나요? 모든 값이 보어 반지름 단위(\(a = 1\))입니다. 따라서 \(r\), 스텝, 최대 반지름은 모두 보어 반지름(약 0.529 옹스트롬)의 무차원 배수로 표현됩니다.
정규화 검산값이 왜 정확히 1이 아닌가요? 적분을 사용자가 고른 표본 점들에 대한 단순한 직사각형 합으로 근사하기 때문입니다. 구간을 넓히고 스텝을 작게 잡으면 1에 더 가까워집니다.
