हाइड्रोजन रेडियल इलेक्ट्रॉन वितरण कैलकुलेटर

MCP के माध्यम से कनेक्ट करें →

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम

शिखर रेडियल प्रायिकता घनत्व D(r)

0.541341

at r ≈ 1 Bohr radii

नाभिकीय आवेश Z	1
क्वांटम संख्याएँ (n, l)	1, 0
गुणांक P	2
Approx ∫ D(r) dr (norm check)	0.9999

r (a)	R_nl(r)	D(r)
0	-2	0
0.2	-1.637462	0.107251
0.4	-1.34064	0.287571
0.6	-1.097623	0.43372
0.8	-0.898658	0.516855
1	-0.735759	0.541341
1.2	-0.602388	0.522535
1.4	-0.493194	0.476751
1.6	-0.403793	0.417405
1.8	-0.330598	0.354115
2	-0.270671	0.29305
2.2	-0.221606	0.237689
2.4	-0.181436	0.189613
2.6	-0.148547	0.149168
2.8	-0.12162	0.115965
3	-0.099574	0.089235
3.2	-0.081524	0.068057
3.4	-0.066747	0.051501
3.6	-0.054647	0.038703
3.8	-0.044742	0.028906
4	-0.036631	0.02147
4.2	-0.029991	0.015867
4.4	-0.024555	0.011673
4.6	-0.020104	0.008552
4.8	-0.016459	0.006242
5	-0.013476	0.00454
5.2	-0.011033	0.003292
5.4	-0.009033	0.002379
5.6	-0.007396	0.001715
5.8	-0.006055	0.001233
6	-0.004958	0.000885
6.2	-0.004059	0.000633
6.4	-0.003323	0.000452
6.6	-0.002721	0.000322
6.8	-0.002228	0.000229
7	-0.001824	0.000163
7.2	-0.001493	0.000116
7.4	-0.001223	0.000082
7.6	-0.001001	0.000058
7.8	-0.000819	0.000041
8	-0.000671	0.000029
8.2	-0.000549	0.00002
8.4	-0.00045	0.000014
8.6	-0.000368	0.00001
8.8	-0.000301	0.000007
9	-0.000247	0.000005
9.2	-0.000202	0.000003
9.4	-0.000165	0.000002
9.6	-0.000135	0.000002
9.8	-0.000111	0.000001
10	-0.000091	0.000001
10.2	-0.000074	0.000001
10.4	-0.000061	0
10.6	-0.00005	0
10.8	-0.000041	0
11	-0.000033	0
11.2	-0.000027	0
11.4	-0.000022	0
11.6	-0.000018	0
11.8	-0.000015	0
12	-0.000012	0
12.2	-0.00001	0
12.4	-0.000008	0
12.6	-0.000007	0
12.8	-0.000006	0
13	-0.000005	0
13.2	-0.000004	0
13.4	-0.000003	0
13.6	-0.000002	0
13.8	-0.000002	0
14	-0.000002	0
14.2	-0.000001	0
14.4	-0.000001	0
14.6	-0.000001	0
14.8	-0.000001	0
15	-0.000001	0
15.2	-0.000001	0
15.4	-0	0
15.6	-0	0
15.8	-0	0
16	-0	0
16.2	-0	0
16.4	-0	0
16.6	-0	0
16.8	-0	0
17	-0	0
17.2	-0	0
17.4	-0	0
17.6	-0	0
17.8	-0	0
18	-0	0
18.2	-0	0
18.4	-0	0
18.6	-0	0
18.8	-0	0
19	-0	0
19.2	-0	0
19.4	-0	0
19.6	-0	0
19.8	-0	0
20	-0	0

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल हाइड्रोजन जैसे परमाणु (आवेश Z वाले नाभिक से बंधा एक इलेक्ट्रॉन, जैसे हाइड्रोजन H या हीलियम आयन He+) के क्वांटम-यांत्रिक तरंगफलन के रेडियल भाग का मान निकालता है। यह रेडियल तरंगफलन $R_{n\ell}(r)$ और रेडियल प्रायिकता घनत्व $D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}$ देता है, जिसे त्रिज्या की एक श्रेणी पर नमूना लेकर सरल बार चार्ट के रूप में दिखाया जाता है। यह एक सार्वभौमिक भौतिकी टूल है जिसमें किसी देश-विशेष की मान्यता नहीं है; सभी दूरियाँ बोह्र त्रिज्या ($a = 1$) में व्यक्त की जाती हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले नाभिक चुनें ($Z = 1$ के लिए H या $Z = 2$ के लिए He+), फिर मुख्य क्वांटम संख्या $n$ (1, 2, 3, ...) और दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell$ (0 से $n-1$ तक) दर्ज करें। प्रारंभिक त्रिज्या, चरण का आकार और कितने बिंदुओं का नमूना लेना है, यह तय करें। कैलकुलेटर $r$, $R_{n\ell}(r)$ और $D(r)$ की एक तालिका बनाता है, उस त्रिज्या को उजागर करता है जहाँ $D(r)$ अधिकतम होता है, और जाँच के तौर पर सामान्यीकरण समाकल (normalization integral) का अनुमानित मान दिखाता है।

सूत्र की व्याख्या

$x = 2Zr/n$ प्रतिस्थापन के साथ, रेडियल फलन है $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x),$$ जहाँ गुणांक $$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$ और $L$ संबद्ध लाग्वेर बहुपद (associated Laguerre polynomial) है। आगे लगा ऋण चिह्न केवल एक फेज़ परिपाटी है और $|R_{n\ell}|^{2}$ को प्रभावित नहीं करता। $r^{2}$ से गुणा करने पर $D(r)$ मिलता है, जो $r$ और $r+dr$ के बीच की पतली खोल (shell) में इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता है।

केंद्रीय नाभिक के चारों ओर त्रिज्या r और मोटाई dr का गोलीय कोश, जो r² आयतन गुणक दर्शाता है — गुणक r² नाभिक के चारों ओर त्रिज्या r के पतले गोलीय कोश के आयतन से आता है।

कई हाइड्रोजन कक्षकों के लिए r के सापेक्ष रेडियल प्रायिकता घनत्व D(r) के वक्र, जो शिखर और नोड दर्शाते हैं — विभिन्न हाइड्रोजन कक्षकों के लिए रेडियल प्रायिकता घनत्व D(r) = r²[R_nl(r)]², जो शिखर और रेडियल नोड दर्शाता है।

हल किया गया उदाहरण

हाइड्रोजन 1s ($Z = 1$, $n = 1$, $\ell = 0$) के लिए $r = 1$ बोह्र त्रिज्या पर: $x = 2$, $P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2$, $L_{0}^{1}(2) = 1$, इसलिए $$R = -2e^{-1} = -0.73576$$ और $$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134.$$ यह वास्तव में 1s कक्षक के लिए $D(r)$ का अधिकतम मान है, जो इस बात की पुष्टि करता है कि इलेक्ट्रॉन की सबसे संभावित त्रिज्या एक बोह्र त्रिज्या है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$D(r)$ का शिखर $r = 0$ पर क्यों नहीं होता? भले ही 1s के लिए नाभिक के पास $|R_{n\ell}|^{2}$ सबसे अधिक होता है, खोल आयतन गुणक $r^{2}$ मूल बिंदु पर शून्य हो जाता है, इसलिए $D(0) = 0$ होता है और प्रायिकता एक परिमित त्रिज्या पर शिखर पर पहुँचती है।

कौन-सी इकाइयाँ प्रयोग होती हैं? सब कुछ बोह्र त्रिज्या ($a = 1$) में है, इसलिए $r$, चरण और शिखर त्रिज्या सभी बोह्र त्रिज्या (~0.529 एंग्स्ट्रॉम) के विमाहीन गुणज हैं।

नॉर्म जाँच ठीक 1 के बराबर क्यों नहीं आती? समाकल को आपके चुने बिंदुओं पर एक सरल आयत योग (rectangle sum) से अनुमानित किया जाता है; श्रेणी को चौड़ा करें और छोटा चरण उपयोग करें ताकि मान 1 के और करीब आए।

अंतिम अपडेट: 18 जून 2026