यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल हाइड्रोजन जैसे परमाणु (आवेश Z वाले नाभिक से बंधा एक इलेक्ट्रॉन, जैसे हाइड्रोजन H या हीलियम आयन He+) के क्वांटम-यांत्रिक तरंगफलन के रेडियल भाग का मान निकालता है। यह रेडियल तरंगफलन \(R_{n\ell}(r)\) और रेडियल प्रायिकता घनत्व \(D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}\) देता है, जिसे त्रिज्या की एक श्रेणी पर नमूना लेकर सरल बार चार्ट के रूप में दिखाया जाता है। यह एक सार्वभौमिक भौतिकी टूल है जिसमें किसी देश-विशेष की मान्यता नहीं है; सभी दूरियाँ बोह्र त्रिज्या (\(a = 1\)) में व्यक्त की जाती हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले नाभिक चुनें (\(Z = 1\) के लिए H या \(Z = 2\) के लिए He+), फिर मुख्य क्वांटम संख्या \(n\) (1, 2, 3, ...) और दिगंशीय क्वांटम संख्या \(\ell\) (0 से \(n-1\) तक) दर्ज करें। प्रारंभिक त्रिज्या, चरण का आकार और कितने बिंदुओं का नमूना लेना है, यह तय करें। कैलकुलेटर \(r\), \(R_{n\ell}(r)\) और \(D(r)\) की एक तालिका बनाता है, उस त्रिज्या को उजागर करता है जहाँ \(D(r)\) अधिकतम होता है, और जाँच के तौर पर सामान्यीकरण समाकल (normalization integral) का अनुमानित मान दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
\(x = 2Zr/n\) प्रतिस्थापन के साथ, रेडियल फलन है $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x),$$ जहाँ गुणांक $$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$ और \(L\) संबद्ध लाग्वेर बहुपद (associated Laguerre polynomial) है। आगे लगा ऋण चिह्न केवल एक फेज़ परिपाटी है और \(|R_{n\ell}|^{2}\) को प्रभावित नहीं करता। \(r^{2}\) से गुणा करने पर \(D(r)\) मिलता है, जो \(r\) और \(r+dr\) के बीच की पतली खोल (shell) में इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता है।
हल किया गया उदाहरण
हाइड्रोजन 1s (\(Z = 1\), \(n = 1\), \(\ell = 0\)) के लिए \(r = 1\) बोह्र त्रिज्या पर: \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\), इसलिए $$R = -2e^{-1} = -0.73576$$ और $$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134.$$ यह वास्तव में 1s कक्षक के लिए \(D(r)\) का अधिकतम मान है, जो इस बात की पुष्टि करता है कि इलेक्ट्रॉन की सबसे संभावित त्रिज्या एक बोह्र त्रिज्या है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(D(r)\) का शिखर \(r = 0\) पर क्यों नहीं होता? भले ही 1s के लिए नाभिक के पास \(|R_{n\ell}|^{2}\) सबसे अधिक होता है, खोल आयतन गुणक \(r^{2}\) मूल बिंदु पर शून्य हो जाता है, इसलिए \(D(0) = 0\) होता है और प्रायिकता एक परिमित त्रिज्या पर शिखर पर पहुँचती है।
कौन-सी इकाइयाँ प्रयोग होती हैं? सब कुछ बोह्र त्रिज्या (\(a = 1\)) में है, इसलिए \(r\), चरण और शिखर त्रिज्या सभी बोह्र त्रिज्या (~0.529 एंग्स्ट्रॉम) के विमाहीन गुणज हैं।
नॉर्म जाँच ठीक 1 के बराबर क्यों नहीं आती? समाकल को आपके चुने बिंदुओं पर एक सरल आयत योग (rectangle sum) से अनुमानित किया जाता है; श्रेणी को चौड़ा करें और छोटा चरण उपयोग करें ताकि मान 1 के और करीब आए।
