这个计算器能做什么
本工具用于计算类氢原子（一个电子束缚于电荷数为 Z 的原子核，例如氢原子 H 或氦离子 He+）量子力学波函数的径向部分。它会返回径向波函数 Rnl(r) 以及径向概率密度 \(D(r) = r^{2}|R_{n\ell}(r)|^{2}\)，在一系列半径取值上采样，并以简单的柱状图呈现。这是一款通用的物理工具，不涉及任何国家或地区的特定设定；所有距离均以玻尔半径为单位（a = 1）。
使用方法
先选择原子核（H 对应 Z = 1，He+ 对应 Z = 2），再输入主量子数 n（1、2、3……）和角量子数 l（取值 0 到 n−1）。设定起始半径、步长以及采样点数。计算器会生成一张包含 r、Rnl(r) 和 D(r) 的数据表，标出 D(r) 取得峰值的半径，并给出归一化积分的近似值，方便你检验结果是否合理。
公式详解
令 \(x = 2Zr/n\)，径向函数可写为
$$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$其中前置系数
$$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$L 为连带拉盖尔多项式。开头的负号只是相位约定，不会影响 \(|R_{n\ell}|^{2}\)。乘上 \(r^{2}\) 即得到 D(r)，它表示在半径 r 与 r+dr 之间的薄球壳内找到电子的概率。
实例演算
以氢原子 1s 态为例（Z = 1，n = 1，l = 0），在 r = 1 个玻尔半径处：\(x = 2\)，\(P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2\)，\(L_{0}^{1}(2) = 1\)，于是
$$R = -2e^{-1} = -0.73576$$$$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134$$这恰好就是 1s 轨道 D(r) 的最大值，说明电子出现概率最高的半径正是一个玻尔半径。
常见问题
为什么 D(r) 的峰值不在 r = 0 处？对于 1s 态，虽然 \(|R_{n\ell}|^{2}\) 在原子核附近最大，但球壳体积因子 \(r^{2}\) 在原点处趋于零，因此 \(D(0) = 0\)，概率峰值出现在一个有限的半径上。
使用什么单位？所有量都以玻尔半径为单位（a = 1），因此 r、步长和峰值半径都是玻尔半径（约 0.529 埃）的无量纲倍数。
为什么归一化检验值不正好等于 1？该积分是用你所选采样点做简单矩形求和近似得到的；扩大取值范围并采用较小的步长，结果就会更接近 1。
