Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue la partie radiale de la fonction d'onde quantique d'un atome hydrogénoïde (un électron lié à un noyau de charge Z, comme l'hydrogène H ou l'ion hélium He+). Il fournit la fonction d'onde radiale \(R_{n\ell}(r)\) et la densité de probabilité radiale \(D(r) = r^{2}|R_{n\ell}(r)|^{2}\), échantillonnées sur une plage de rayons et représentées sous forme de simple diagramme en barres. C'est un outil de physique universel, sans aucune hypothèse propre à un pays : toutes les distances sont exprimées en rayons de Bohr (a = 1).
Mode d'emploi
Choisissez le noyau (H pour Z = 1 ou He+ pour Z = 2), puis saisissez le nombre quantique principal n (1, 2, 3, ...) et le nombre quantique azimutal l (de 0 à n-1). Définissez le rayon de départ, le pas et le nombre de points à échantillonner. Le calculateur construit un tableau de \(r\), \(R_{n\ell}(r)\) et \(D(r)\), met en évidence le rayon où \(D(r)\) atteint son maximum et affiche une valeur approchée de l'intégrale de normalisation à titre de vérification.
La formule expliquée
Avec le changement de variable \(x = 2Zr/n\), la fonction radiale s'écrit
$$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$où le préfacteur \(P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}\) et L désigne le polynôme de Laguerre associé. Le signe moins initial n'est qu'une convention de phase et n'affecte pas \(|R_{n\ell}|^{2}\). La multiplication par \(r^{2}\) donne \(D(r)\), la probabilité de trouver l'électron dans une fine couche comprise entre \(r\) et \(r+dr\).
Exemple détaillé
Pour l'hydrogène 1s (Z = 1, n = 1, l = 0) en r = 1 rayon de Bohr : \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0{,}5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\), d'où
$$R = -2e^{-1} = -0{,}73576$$$$D = 1^{2} \times 0{,}73576^{2} = 0{,}54134$$Il s'agit justement du maximum de \(D(r)\) pour l'orbitale 1s, ce qui confirme que le rayon le plus probable de l'électron est égal à un rayon de Bohr.
FAQ
Pourquoi le maximum de \(D(r)\) ne se trouve-t-il pas en r = 0 ? Même si \(|R_{n\ell}|^{2}\) est maximal près du noyau pour la 1s, le facteur de volume de la couche \(r^{2}\) s'annule à l'origine : on a donc \(D(0) = 0\) et la probabilité culmine à un rayon fini.
Quelles unités sont utilisées ? Tout est exprimé en rayons de Bohr (a = 1) : \(r\), le pas et le rayon du maximum sont donc des multiples sans dimension du rayon de Bohr (~0,529 angström).
Pourquoi le contrôle de normalisation ne donne-t-il pas exactement 1 ? L'intégrale est approchée par une simple somme de rectangles sur les points que vous avez choisis ; élargissez la plage et utilisez un pas plus petit pour vous rapprocher de 1.
