Công cụ này làm gì
Công cụ này tính phần bán kính của hàm sóng cơ học lượng tử cho một nguyên tử dạng hydro (một electron liên kết với hạt nhân mang điện tích Z, chẳng hạn nguyên tử hydro H hoặc ion heli He+). Nó cho ra hàm sóng bán kính \(R_{n\ell}(r)\) và mật độ xác suất bán kính \(D(r) = r^{2}|R_{n\ell}(r)|^{2}\), được lấy mẫu trên một dải bán kính và biểu diễn dưới dạng biểu đồ cột đơn giản. Đây là một công cụ vật lý mang tính phổ quát, không gắn với giả định riêng của bất kỳ quốc gia nào; mọi khoảng cách đều được biểu diễn theo bán kính Bohr (\(a = 1\)).
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn hạt nhân (H ứng với \(Z = 1\) hoặc He+ ứng với \(Z = 2\)), sau đó nhập số lượng tử chính \(n\) (1, 2, 3, ...) và số lượng tử phương vị \(\ell\) (từ 0 đến \(n-1\)). Tiếp theo, đặt bán kính khởi đầu, bước nhảy và số điểm cần lấy mẫu. Máy tính sẽ lập bảng các giá trị \(r\), \(R_{n\ell}(r)\) và \(D(r)\), làm nổi bật bán kính nơi \(D(r)\) đạt cực đại, đồng thời hiển thị giá trị gần đúng của tích phân chuẩn hóa để bạn kiểm tra lại kết quả.
Giải thích công thức
Với phép thế \(x = 2Zr/n\), hàm bán kính có dạng $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x),$$ trong đó hệ số đứng trước $$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$ và \(L\) là đa thức Laguerre liên kết. Dấu trừ ở đầu chỉ là quy ước về pha và không ảnh hưởng đến \(|R_{n\ell}|^{2}\). Khi nhân với \(r^{2}\), ta thu được \(D(r)\) — xác suất tìm thấy electron trong một lớp vỏ mỏng nằm giữa \(r\) và \(r+dr\).
Ví dụ minh họa
Với quỹ đạo 1s của hydro (\(Z = 1\), \(n = 1\), \(\ell = 0\)) tại \(r = 1\) bán kính Bohr: \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0{,}5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\), do đó \(R = -2e^{-1} = -0{,}73576\) và \(D = 1^{2} \times 0{,}73576^{2} = 0{,}54134\). Đây cũng chính là giá trị cực đại của \(D(r)\) đối với quỹ đạo 1s, khẳng định rằng bán kính có khả năng tìm thấy electron lớn nhất đúng bằng một bán kính Bohr.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao đỉnh của D(r) không nằm tại r = 0? Mặc dù \(|R_{n\ell}|^{2}\) đạt lớn nhất ở gần hạt nhân đối với quỹ đạo 1s, nhưng thừa số thể tích lớp vỏ \(r^{2}\) lại triệt tiêu tại gốc tọa độ, nên \(D(0) = 0\) và xác suất đạt cực đại tại một bán kính hữu hạn.
Bài toán dùng đơn vị nào? Tất cả đều tính theo bán kính Bohr (\(a = 1\)), vì vậy \(r\), bước nhảy và bán kính tại đỉnh đều là các bội số không thứ nguyên của bán kính Bohr (≈ 0,529 angstrom).
Vì sao phép kiểm tra chuẩn hóa không bằng đúng 1? Tích phân được tính gần đúng bằng tổng diện tích các hình chữ nhật trên những điểm bạn chọn; hãy mở rộng dải giá trị và dùng bước nhảy nhỏ hơn để kết quả tiến gần đến 1.
