Công cụ này làm gì
Công cụ này tính và vẽ hàm sóng của dao động tử điều hòa lượng tử (QHO) một chiều \(\psi_n(x)\) ứng với số lượng tử \(n\) bạn chọn, trên một dải vị trí \(x\). QHO là một trong những mô hình giải được chính xác quan trọng bậc nhất của cơ học lượng tử, mô tả dao động của phân tử, phonon trong chất rắn và các mode của trường điện từ. Các hàm sóng chính là những trạng thái riêng của Hamiltonian, với mức năng lượng \(E_n = \hbar\omega(n + \tfrac{1}{2})\).
Quy ước đơn vị
Để kết quả thuần túy là con số, vị trí được đo bằng đơn vị chiều dài dao động tử không thứ nguyên, tương đương với việc đặt tham số \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\). Với lựa chọn này, bạn không cần khai báo khối lượng, tần số góc hay \(\hbar\): chỉ cần nhập \(n\) và các tham số lấy mẫu của \(x\). Năng lượng thu được tính theo đơn vị \(\hbar\omega\), nên \(E_n\) đơn giản bằng \(n + \tfrac{1}{2}\).
Công thức
Hàm riêng đã chuẩn hóa là $$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$ trong đó hằng số chuẩn hóa \(N_n = \sqrt{1 / (2^{n}\, n!\, \sqrt{\pi})}\) và \(H_n\) là đa thức Hermite theo quy ước của các nhà vật lý. Đa thức Hermite được xây dựng từ công thức truy hồi ổn định: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\) và \(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). Hằng số chuẩn hóa được tính trong miền logarit để tránh tràn số khi \(n\) lớn.
Cách sử dụng
Nhập số lượng tử \(n\) (0, 1, 2, ...), vị trí ban đầu \(x\), bước nhảy và số điểm cần lấy mẫu. Máy tính sẽ tính \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) cho từng \(i\), rồi trả về giá trị \(\psi\) tại mỗi điểm cùng đồ thị \(\psi(x)\) theo \(x\). Giá trị mặc định (bắt đầu -4, bước 0,1, 81 điểm) quét \(x\) từ -4 đến +4.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 1\) tại \(x = 1{,}0\): \(N_1 = \sqrt{1/(2\,\sqrt{\pi})} = 0{,}5311259\), \(H_1(1) = 2{,}0\) và \(e^{-0{,}5} = 0{,}6065307\). Do đó $$\psi_1(1{,}0) = 0{,}5311259 \times 2{,}0 \times 0{,}6065307 = 0{,}6442715$$ Trạng thái \(n = 1\) có một nút tại \(x = 0\), nơi \(\psi_1(0) = 0\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(\psi\) nhận giá trị âm? Ở đây hàm sóng là số thực và dao động đổi dấu; đại lượng quan sát được về mặt vật lý là mật độ xác suất \(|\psi|^2\), luôn không âm.
\(\psi_n\) có bao nhiêu nút? Đúng \(n\) nút (điểm cắt trục 0) bên trong giếng thế, đây là đặc trưng của trạng thái kích thích thứ \(n\).
\(\psi\) đã được chuẩn hóa chưa? Rồi, trong miền \(x\) liên tục thì tích phân của \(\psi_n^2\, dx\) bằng 1. Lưới lấy mẫu hữu hạn chỉ xấp xỉ tích phân đó.
