Công cụ này là gì
Máy tính này tính giá trị hàm điều hòa cầu phức \(Y_n^m(\theta,\phi)\) — phần góc trong nghiệm của phương trình Laplace. Hàm điều hòa cầu xuất hiện ở khắp nơi trong vật lý và toán ứng dụng: cơ học lượng tử (orbital nguyên tử), điện từ học, trắc địa, chiếu sáng trong đồ họa máy tính và địa chấn học. Công cụ trả về phần thực, phần ảo và biên độ của Y tại góc cực (góc thiên đỉnh) theta tùy chọn và góc phương vị phi cố định. Đây là toán học thuần túy nên áp dụng giống nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn định nghĩa hàm. Kiểu A là quy ước chuẩn hóa hoàn toàn, trực chuẩn theo Condon-Shortley thường dùng trong cơ học lượng tử (tích phân của \(|Y|^2\) trên toàn mặt cầu bằng 1). Kiểu B là quy ước không chuẩn hóa, đơn giản là \(P_n^m(\cos\theta)\) nhân với pha phương vị. Nhập bậc n (0, 1, 2, ...), cấp m với điều kiện \(-n \le m \le n\), góc thiên đỉnh theta theo độ và góc phương vị phi theo độ. Nhấn tính để xem ngay phần thực và phần ảo.
Giải thích công thức
$$Y_n^m(\theta,\phi) = N_{n,m}\cdot P_n^m(\cos\theta)\cdot e^{i\,m\phi}$$ trong đó \(e^{i\,m\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\). Hàm Legendre liên kết \(P_n^m\) đã bao gồm pha Condon-Shortley \((-1)^m\). Với kiểu A, $$N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}$$ với kiểu B, \(N = 1\). Các góc nhập theo độ sẽ được chuyển sang radian trước khi tính.
Ví dụ minh họa
Kiểu A, \(n = 2\), \(m = 1\), \(\theta = 30°\), \(\phi = 30°\). Khi đó \(x = \cos 30° = 0.8660254\), \(P_2^1(x) = -\sqrt{1-x^2}\cdot 3x = -1.2990381\), và $$N = \sqrt{\frac{5}{4\pi}\cdot\frac{1}{6}} = 0.2575162.$$ Vậy \(N\cdot P = -0.3345283\). Với \(\cos 30° = 0.8660254\) và \(\sin 30° = 0.5\), phần thực bằng \(-0.2897113\) và phần ảo bằng \(-0.1672642\); biên độ bằng \(0.3345283\).
Câu hỏi thường gặp
Khoảng giá trị hợp lệ của m là gì? Cấp m phải là số nguyên thỏa \(-n \le m \le n\). Nếu không, hàm điều hòa không xác định.
Vì sao Y bằng 0 tại các cực? Tại \(\theta = 0°\) hoặc \(180°\), \(\sqrt{1-x^2} = 0\), nên \(P_n^m = 0\) với mọi \(m \ne 0\); chỉ trường hợp \(m = 0\) mới còn hữu hạn.
Quy ước dấu nào được dùng? Công cụ đã bao gồm pha Condon-Shortley \((-1)^m\), phù hợp với quy ước vật lý tiêu chuẩn.
