Présentation
Ce calculateur évalue l'harmonique sphérique complexe \(Y_n^m(\theta,\phi)\), c'est-à-dire la partie angulaire des solutions de l'équation de Laplace. Les harmoniques sphériques sont omniprésentes en physique et en mathématiques appliquées : mécanique quantique (orbitales atomiques), électromagnétisme, géodésie, éclairage en synthèse d'images et sismologie. L'outil renvoie la partie réelle, la partie imaginaire et le module de Y pour un angle polaire (zénithal) theta donné et un angle azimutal phi fixé. Il s'agit de mathématiques pures, qui s'appliquent à l'identique partout.
Mode d'emploi
Choisissez d'abord une définition de la fonction. Le type A correspond à la convention de Condon-Shortley entièrement normalisée et orthonormée employée en mécanique quantique (l'intégrale de \(|Y|^2\) sur la sphère vaut 1). Le type B est la convention non normalisée : il s'agit simplement de \(P_n^m(\cos\theta)\) multiplié par la phase azimutale. Saisissez le degré n (0, 1, 2, ...), l'ordre m avec \(-n \le m \le n\), l'angle zénithal theta en degrés et l'angle azimutal phi en degrés. Validez pour obtenir les parties réelle et imaginaire.
La formule expliquée
$$Y_n^m(\theta,\phi) = N_{n,m}\cdot P_n^m(\cos\theta)\cdot e^{i\,m\phi}$$ où \(e^{i\,m\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\). La fonction de Legendre associée \(P_n^m\) intègre la phase de Condon-Shortley \((-1)^m\). Pour le type A, \(N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}\) ; pour le type B, \(N = 1\). Les angles saisis en degrés sont convertis en radians avant le calcul.
Exemple résolu
Type A, \(n = 2\), \(m = 1\), \(\theta = 30°\), \(\phi = 30°\). On a alors \(x = \cos 30° = 0{,}8660254\), \(P_2^1(x) = -\sqrt{1-x^2}\cdot 3x = -1{,}2990381\), et $$N = \sqrt{\frac{5}{4\pi}\cdot\frac{1}{6}} = 0{,}2575162.$$ Donc \(N\cdot P = -0{,}3345283\). Avec \(\cos 30° = 0{,}8660254\) et \(\sin 30° = 0{,}5\), la partie réelle vaut \(-0{,}2897113\) et la partie imaginaire \(-0{,}1672642\) ; le module est égal à \(0{,}3345283\).
FAQ
Quelle est la plage valable pour m ? L'ordre m doit être un entier vérifiant \(-n \le m \le n\). En dehors de cet intervalle, l'harmonique n'est pas définie.
Pourquoi Y s'annule-t-elle aux pôles ? Lorsque \(\theta = 0°\) ou \(180°\), \(\sqrt{1-x^2} = 0\), si bien que \(P_n^m = 0\) pour tout \(m \ne 0\) ; seul le cas \(m = 0\) reste fini.
Quelle convention de signe est utilisée ? La phase de Condon-Shortley \((-1)^m\) est incluse, conformément à la convention standard en physique.
