ما هي هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة قيمة التوافقي الكروي المركّب \(Y_n^m(\theta,\phi)\)، وهو الجزء الزاوي من حلول معادلة لابلاس. تظهر التوافقيات الكروية في مختلف فروع الفيزياء والرياضيات التطبيقية: ميكانيكا الكم (المدارات الذرية)، والكهرومغناطيسية، والجيوديسيا، وإضاءة الرسوميات الحاسوبية، وعلم الزلازل. تعطيك الأداة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي والمقدار لقيمة Y عند زاوية قطبية (السمت العلوي) theta وزاوية سمتية ثابتة phi تختارهما. وهي رياضيات بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون استثناء.
طريقة الاستخدام
اختر تعريف الدالة أولاً. النوع A هو الصيغة المعيّرة بالكامل والمتعامدة المتجانسة وفق اصطلاح كوندون-شورتلي المعتمد في ميكانيكا الكم (حيث يساوي تكامل \(|Y|^2\) على سطح الكرة الواحد). أما النوع B فهو الصيغة غير المعيّرة، وهي ببساطة \(P_n^m(\cos\theta)\) مضروبة في الطور السمتي. أدخل الدرجة n (0، 1، 2، ...)، والرتبة m بحيث يكون \(-n \le m \le n\)، وزاوية السمت العلوي theta بالدرجات، وزاوية السمت phi بالدرجات. ثم اضغط على الحساب لقراءة الجزأين الحقيقي والتخيلي.
شرح المعادلة
$$Y_n^m(\theta,\phi) = N_{n,m}\cdot P_n^m(\cos\theta)\cdot e^{i\,m\phi}$$ حيث \(e^{i\,m\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\). وتحمل دالة لوجاندر المرافقة \(P_n^m\) طور كوندون-شورتلي وهو \((-1)^m\). في النوع A يكون \(N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}\)، وفي النوع B يكون \(N = 1\). تُحوّل الزوايا المُدخلة بالدرجات إلى راديان قبل إجراء الحساب.
مثال محلول
لنأخذ النوع A مع \(n = 2\)، \(m = 1\)، \(\theta = 30°\)، \(\phi = 30°\). عندئذٍ \(x = \cos 30° = 0.8660254\)، وتكون $$P_2^1(x) = -\sqrt{1-x^2}\cdot 3x = -1.2990381$$ و \(N = \sqrt{\frac{5}{4\pi}\cdot\frac{1}{6}} = 0.2575162\). ومن ثم \(N\cdot P = -0.3345283\). وبما أن \(\cos 30° = 0.8660254\) و \(\sin 30° = 0.5\)، يكون الجزء الحقيقي \(-0.2897113\) والجزء التخيلي \(-0.1672642\)، ويكون المقدار \(0.3345283\).
الأسئلة الشائعة
ما المجال الصالح للقيمة m؟ يجب أن تكون الرتبة m عدداً صحيحاً يحقق \(-n \le m \le n\)، وإلا أصبح التوافقي غير مُعرّف.
لماذا تكون قيمة Y صفراً عند القطبين؟ عند \(\theta = 0°\) أو \(180°\) يكون \(\sqrt{1-x^2} = 0\)، وبالتالي تكون \(P_n^m = 0\) لكل \(m \ne 0\)؛ ولا تبقى منتهية إلا القيمة \(m = 0\).
أي اصطلاح للإشارة يُعتمد؟ يُدرَج طور كوندون-شورتلي \((-1)^m\)، بما يطابق الاصطلاح الفيزيائي القياسي المعتمد.
