Qué es
Esta calculadora evalúa el armónico esférico complejo \(Y_n^m(\theta,\phi)\), la parte angular de las soluciones de la ecuación de Laplace. Los armónicos esféricos aparecen en numerosos campos de la física y las matemáticas aplicadas: la mecánica cuántica (orbitales atómicos), el electromagnetismo, la geodesia, la iluminación en gráficos por ordenador y la sismología. La herramienta devuelve la parte real, la parte imaginaria y el módulo de Y para un ángulo polar (cenital) theta dado y un ángulo azimutal phi fijo. Es matemática pura y se aplica por igual en todas partes.
Cómo usarla
Elige una definición de la función. El tipo A es la convención de Condon-Shortley completamente normalizada y ortonormal que se emplea en mecánica cuántica (la integral de \(|Y|^2\) sobre la esfera es igual a 1). El tipo B es la convención sin normalizar, simplemente \(P_n^m(\cos\theta)\) multiplicado por la fase azimutal. Introduce el grado \(n\) (0, 1, 2, ...), el orden \(m\) con \(-n \le m \le n\), el ángulo cenital theta en grados y el ángulo azimutal phi en grados. Pulsa calcular para leer la parte real e imaginaria.
La fórmula explicada
$$Y_n^m(\theta,\phi) = N_{n,m}\cdot P_n^m(\cos\theta)\cdot e^{i\,m\phi}$$ donde \(e^{i\,m\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\). La función asociada de Legendre \(P_n^m\) incorpora la fase de Condon-Shortley \((-1)^m\). Para el tipo A, \(N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}\); para el tipo B, \(N = 1\). Los ángulos introducidos en grados se convierten a radianes antes de evaluar la expresión.
Ejemplo resuelto
Tipo A, \(n = 2\), \(m = 1\), \(\theta = 30°\), \(\phi = 30°\). Entonces \(x = \cos 30° = 0{,}8660254\), \(P_2^1(x) = -\sqrt{1-x^2}\cdot 3x = -1{,}2990381\), y \(N = \sqrt{\frac{5}{4\pi}\cdot\frac{1}{6}} = 0{,}2575162\). Así, \(N\cdot P = -0{,}3345283\). Con \(\cos 30° = 0{,}8660254\) y \(\sin 30° = 0{,}5\), la parte real es \(-0{,}2897113\) y la parte imaginaria es \(-0{,}1672642\); el módulo es \(0{,}3345283\).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el rango válido de m? El orden \(m\) debe ser un número entero con \(-n \le m \le n\). En caso contrario, el armónico no está definido.
¿Por qué Y vale cero en los polos? Cuando \(\theta = 0°\) o \(180°\), \(\sqrt{1-x^2} = 0\), de modo que \(P_n^m = 0\) para todo \(m \ne 0\); solo \(m = 0\) se mantiene finito.
¿Qué convención de signos se utiliza? Se incluye la fase de Condon-Shortley \((-1)^m\), conforme a la convención habitual en física.
