¿Qué es la calculadora de armónicos esféricos?
Los armónicos esféricos \(Y_{n}^{m}(\theta,\phi)\) constituyen la parte angular de las soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Forman una base ortonormal completa sobre la superficie de una esfera y aparecen por toda la física y la ingeniería: los orbitales atómicos en mecánica cuántica, los desarrollos multipolares en electromagnetismo y gravitación, el fondo cósmico de microondas en cosmología, los modelos geomagnéticos en geofísica y los modelos de iluminación en gráficos por ordenador. Esta calculadora evalúa el armónico de valor complejo para el grado n, el orden m, el ángulo polar (cenital) \(\theta\) y el ángulo acimutal \(\phi\) que elijas.
Cómo usarla
Elige un convenio: el tipo A (Wolfram/Mathematica) emplea la fase \(e^{i m \phi}\); el tipo B (Maple) usa \(e^{i m (\phi+\pi)}\), que difiere en un factor \((-1)^{m}\). Introduce un grado entero \(n \ge 0\) y un orden entero m con \(-n \le m \le n\). Escribe el ángulo cenital \(\theta\) y el acimut \(\phi\) en la unidad angular elegida (grados o radianes — la misma unidad se aplica a ambos). Indica cuántas cifras significativas quieres mostrar y, a continuación, consulta las partes real e imaginaria, junto con el módulo y la fase.
La fórmula
Sea \(x = \cos\theta\). La normalización es $$N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}.$$ La función asociada de Legendre \(P_{n}^{m}(x)\) se construye mediante la recurrencia que parte de \(P_{m}^{m}(x) = (-1)^{m}(2m-1)!!(1-x^{2})^{m/2}\). Entonces, en el tipo A: $$Y = N \cdot P_{n}^{m}(x) \cdot \left(\cos(m\phi) + i\cdot\sin(m\phi)\right).$$ Los órdenes negativos utilizan \(P_{n}^{-m}(x) = (-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_{n}^{m}(x)\). En los polos (\(x = \pm 1\)) solo \(m = 0\) es distinto de cero.
Ejemplo resuelto
Valores por defecto, tipo A: \(n=2\), \(m=1\), \(\theta=45°\), \(\phi=0\). Entonces \(x = \cos 45° = 0{,}7071068\), \(\frac{2n+1}{4\pi} = \frac{5}{4\pi} = 0{,}3978874\), \(\frac{(n-m)!}{(n+m)!} = \frac{1}{6}\), de modo que \(N = \sqrt{0{,}0663146} = 0{,}257516\). \(P_{2}^{1}(x) = -3x\sqrt{1-x^{2}} = -3\cdot 0{,}5 = -1{,}5\). Con \(\phi=0\) la fase vale 1, lo que da $$Y = 0{,}257516 \cdot (-1{,}5) = -0{,}386274 + 0\,i,$$ con un módulo de \(0{,}386274\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué el resultado es complejo? El factor \(e^{i m \phi}\) hace que Y sea complejo, salvo que \(m\phi\) sea un múltiplo de \(\pi\) (por ejemplo, \(\phi=0\)), donde la parte imaginaria se anula.
¿Por qué mi libro de referencia muestra +0,386274? Algunas fuentes omiten la fase de Condon–Shortley \((-1)^{m}\). El convenio de Wolfram/tipo A la incluye dentro de \(P_{n}^{m}\), lo que produce el valor negativo.
¿Qué ocurre en los polos? Cuando \(\theta=0\) o \(180°\), el factor \((1-x^{2})^{m/2}\) es cero, así que \(Y = 0\) para todo \(m \ne 0\); solo sobrevive \(m=0\).
