¿Qué es el Teorema Chino del Resto?
El Teorema Chino del Resto (TCR) es un resultado clásico de la teoría de números. Afirma que, si tienes un sistema de congruencias \(x \equiv a_1 \pmod{m_1}\), \(x \equiv a_2 \pmod{m_2}\), … cuyos módulos son coprimos dos a dos (no comparten ningún factor común), entonces existe una única solución \(x\) módulo \(M = m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots\). Esta calculadora encuentra esa solución, la más pequeña que no sea negativa.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cada resto \(a_i\) junto con su módulo \(m_i\). Puedes resolver un sistema de dos o tres congruencias: deja en blanco el tercer módulo si solo necesitas dos. La herramienta comprueba que los módulos sean coprimos dos a dos y, a continuación, devuelve \(x\) y el módulo combinado \(M\). Cualquier valor de la forma \(x + Mk\) (para cualquier entero \(k\)) también es solución.
La fórmula al detalle
Sea \(M = \prod m_i\). Para cada congruencia definimos \(M_i = M / m_i\) e \(y_i = M_i^{-1} \bmod m_i\) (el inverso modular calculado con el algoritmo de Euclides extendido). La solución es la suma ponderada $$x \equiv \sum_i a_i\,M_i\,y_i \pmod{M}.$$ Como \(M_i\) es divisible por todos los módulos salvo \(m_i\), cada término aporta el resto correcto únicamente a su propia congruencia.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(x \equiv 2 \pmod{3}\) y \(x \equiv 1 \pmod{4}\). Aquí \(M = 3 \cdot 4 = 12\). \(M_1 = 4\), y como \(4 \equiv 1 \pmod{3}\) tenemos \(y_1 = 1\); \(M_2 = 3\), y como \(3 \equiv 3 \pmod{4}\) resulta \(y_2 = 3\) (ya que \(3 \cdot 3 = 9 \equiv 1\)). Entonces $$x = 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 3 = 8 + 9 = 17 \equiv 5 \pmod{12}.$$ Comprobación: \(5 \bmod 3 = 2\) ✓ y \(5 \bmod 4 = 1\) ✓.
Preguntas frecuentes
¿Por qué deben ser coprimos los módulos? Si dos módulos comparten un factor, el sistema puede no tener solución o tener varias soluciones módulo su mínimo común múltiplo, de modo que la fórmula estándar del TCR deja de aplicarse.
¿Qué significa «la solución más pequeña no negativa»? Todas las soluciones difieren en múltiplos de \(M\); la calculadora muestra la que se encuentra en el rango de \(0\) a \(M-1\).
¿Puedo usar restos negativos? Sí. Antes de resolver, se reducen módulo cada \(m_i\) al rango de \(0\) a \(m_i-1\).
