¿Qué es el teorema de De Moivre?
El teorema de De Moivre es una identidad fundamental en la teoría de números complejos que permite elevar un número complejo expresado en forma polar a cualquier potencia sin necesidad de multiplicarlo repetidamente. Si un número complejo tiene módulo r y argumento θ, elevarlo a la potencia n basta con elevar el módulo a \(r^{n}\) y multiplicar el ángulo por n. Esta calculadora lo resuelve al instante y, además, convierte el resultado de vuelta a la conocida forma binómica \(a + bi\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce el módulo r (la distancia al origen), el ángulo θ (el argumento) y la potencia n, y elige si tu ángulo está en grados o en radianes. La herramienta te devuelve el nuevo módulo \(r^{n}\), el nuevo ángulo \(n\theta\) y las partes real e imaginaria del resultado.
La fórmula explicada
El teorema establece que: $$\left(r(\cos\theta + i\cdot\operatorname{sen}\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos(n\theta) + i\cdot\operatorname{sen}(n\theta)\right)$$ El módulo se eleva a la potencia n, mientras que el ángulo se multiplica por n. Al pasar a la forma binómica se obtiene \(a = r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) y \(b = r^{n}\cdot\operatorname{sen}(n\theta)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\left(2(\cos 30° + i\cdot\operatorname{sen}30°)\right)^{3}\). El nuevo módulo es \(2^{3} = 8\) y el nuevo ángulo es \(3 \times 30° = 90°\). Por tanto, el resultado es $$8(\cos 90° + i\cdot\operatorname{sen}90°) = 8(0 + i\cdot 1) = 0 + 8i$$
Preguntas frecuentes
¿n tiene que ser un número entero? El teorema de De Moivre se cumple de forma exacta para potencias enteras. Las potencias no enteras dan una raíz válida, pero en general los números complejos tienen varias raíces.
¿Grados o radianes? Cualquiera de los dos sirve; solo tienes que elegir la unidad correspondiente. El ángulo de salida se expresa en la misma unidad que hayas seleccionado.
¿Y si r es negativo? El módulo normalmente es no negativo; un valor de r negativo se interpreta literalmente en la potencia \(r^{n}\), lo que puede producir signos inesperados cuando n no es entero.
