ド・モアブルの定理とは？
ド・モアブルの定理は、複素数論における強力な公式で、極形式で表した複素数を、繰り返し掛け算をすることなく任意の累乗に簡単に計算できます。複素数の絶対値が r、偏角が θ のとき、これを n 乗すると、絶対値は rⁿ になり、偏角は n 倍されるだけです。この計算ツールはその計算を瞬時に行い、さらに結果をおなじみの直交形式 a + bi にも変換します。
このツールの使い方
絶対値 r（原点からの距離）、偏角 θ（複素数の角度）、指数 n を入力し、角度の単位が「度」か「ラジアン」かを選択してください。ツールは新しい絶対値 \(r^{n}\)、新しい偏角 \(n\theta\)、そして結果の実部と虚部を返します。
公式の解説
定理は次のように表されます：
$$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$絶対値は n 乗され、偏角は n 倍されます。これを直交形式に変換すると、\(a = r^{n}\cdot\cos(n\theta)\)、\(b = r^{n}\cdot\sin(n\theta)\) となります。
計算例
\(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\) を考えてみましょう。新しい絶対値は \(2^{3} = 8\)、新しい偏角は \(3 \times 30° = 90°\) です。したがって結果は
$$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i$$となります。
よくある質問
n は整数でなければなりませんか？ ド・モアブルの定理は整数の累乗に対して厳密に成り立ちます。整数以外の指数の場合は有効な根が1つ得られますが、複素数は一般に複数の根を持ちます。
度とラジアン、どちらを使うべき？ どちらでも構いません。入力する角度に合わせて単位を選ぶだけです。出力される偏角は、選択した単位と同じ単位で表示されます。
r が負の値の場合は？ 絶対値は通常、非負の値です。負の r はそのまま \(r^{n}\) の累乗計算に使われるため、整数でない n の場合は予想外の符号になることがあります。
