ベイズの定理とは？
ベイズの定理は、新しい証拠Bが得られたときに、仮説Aが正しい確率をどのように更新すればよいかを示すものです。「証拠が仮説のもとでどれだけ起こりやすいか」を「証拠が全体としてどれだけ起こりやすいか」と比べることで、当初の事前確率を、より確からしい事後確率へと書き換えます。この考え方は統計学、機械学習、医療診断、スパムフィルター、そして不確実性のもとでの合理的な意思決定の基礎となっています。
この計算ツールの使い方
0から1までの3つの確率を入力してください。
- P(A) — 仮説が正しい事前確率（例：ある病気の有病率）。
- P(B|A) — 尤度。Aが正しいときに証拠が観測される確率（例：検査の感度）。
- P(B|¬A) — 偽陽性率。Aが正しくないときに証拠が観測される確率。
証拠が起こる全確率P(B)は、全確率の法則を使って自動的に求められ、その結果として事後確率P(A|B)が表示されます。
計算式の解説
基本となる式は \(P(A \mid B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\) です。ただしP(B)を直接知っていることはほとんどないため、これを次のように展開します。
$$P(A \mid B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot \left(1 - P(A)\right)}$$これは真陽性の寄与と偽陽性の寄与を合計し、証拠が観測される全体的な頻度を求めるものです。
計算例
ある病気の有病率が1%だとすると、\(P(A) = 0.01\)です。この病気の検査は、実際に病気の人を90%の確率で正しく陽性と判定し（\(P(B|A) = 0.9\)）、一方で偽陽性率は8%（\(P(B|\neg A) = 0.08\)）だとします。すると
$$P(B) = 0.9 \times 0.01 + 0.08 \times 0.99 = 0.009 + 0.0792 = 0.0882$$となります。事後確率は
$$P(A \mid B) = \frac{0.009}{0.0882} \approx 0.102$$つまり約10.2%です。検査が「陽性」であっても、その人は実際には健康である可能性のほうが高いのです。これは「基準率の無視（base-rate neglect）」を示す典型的な例です。
事前分布が異なるシナリオ全体でどのように変化するか
ベイズの定理は、事前確率 \(P(A)\)、真陽性率（尤度） \(P(B \mid A)\)、および偽陽性率 \(P(B \mid \neg A)\) を、更新された事後確率 \(P(A \mid B)\) に組み合わせます。結果の最も驚くべき特徴は、基本率 \(P(A)\) に対する感度です。条件が稀である場合、精度の高い検査でも低い事後確率を生じます。下の表は、検査特性を固定し、入力を変更してその依存性を視認できるようにしています。
| シナリオ | 事前確率 P(A) | 尤度 P(B|A) | 偽陽性率 P(B|¬A) | 事後確率 P(A|B) |
|---|---|---|---|---|
| 稀な条件、精度の高い検査 | 0.01 | 0.99 | 0.05 | 0.1667 |
| 稀な条件、より低い偽陽性率 | 0.01 | 0.99 | 0.01 | 0.5 |
| 中程度の基本率、精度の高い検査 | 0.10 | 0.99 | 0.05 | 0.6875 |
| 一般的な条件、精度の高い検査 | 0.50 | 0.99 | 0.05 | 0.9519 |
| 稀な条件、高い偽陽性率 | 0.01 | 0.90 | 0.20 | 0.0435 |
最初の2行を上から下へ読むと、偽陽性率を0.05から0.01に削減することで、基本率と感度が変わらないにもかかわらず、事後確率が約17%から50%に上昇していることが分かります。1行目、3行目、4行目を読むと、事前確率が1%から50%に上昇するにつれて、同じ検査が事後確率を約17%から95%へと押し上げていることが分かります。最後の行は対極を示しています。稀な条件が高い偽陽性率と組み合わされることで、真陽性率が90%であっても事後確率は5%未満に留まります。
事後確率の解釈
事後確率 \(P(A \mid B)\) は、証拠 \(B\) を観測した後、仮説 \(A\) が真である確率です。これは実際的な質問「この陽性結果が与えられたとき、条件が実際に存在する可能性はどのくらいか？」に答えます。これは通常、意思決定者が知りたいことです。
事後確率を尤度 \(P(B \mid A)\) と混同しないことが重要です。尤度（検査の文脈では感度または真陽性率と呼ばれることが多い）は、\(A\) が真であると仮定した上で証拠を見る確率です。これら2つの条件付き確率は反対方向を指しており、特殊な場合を除いて等しくはありません。検査は99%の真陽性率を有するにもかかわらず、99%をはるかに下回る事後確率を生じることができます。その差は基本率と偽陽性率によって駆動されます。
基本率 \(P(A)\) がこのギャップの原動力です。\(A\) が稀である場合、真の症例のプールは小さいため、大きな \(\neg A\) 母集団に適用された控えめな偽陽性率でも、偽陽性より真陽性が多く生成される可能性があります。基本率を無視して陽性結果をほぼ確実として解釈することは、よく知られた基本率の誤謬です。
最後に、ベイズ更新は反復的です。事後確率を計算したら、それは次の独立した証拠のための事前確率として機能できます。たとえば、2番目の陽性検査を観測することは、最初の事後確率を \(P(A)\) として戻し、再び更新することを意味します。繰り返される独立した証拠は推定値を着実に精緻化し、これがベイズ推論が逐次検査、スパムフィルター、および多くの機械学習モデルの基礎となっている理由です。
主要な用語と変数
- 事前確率 — \(P(A)\)
- 証拠を観測する前に仮説 \(A\) に割り当てられた確率。検査の文脈ではこれは条件の有病率または基本率です。
- 尤度 — \(P(B \mid A)\)
- \(A\) が真である場合に証拠 \(B\) を観測する確率。診断検査の場合、これは感度または真陽性率です。
- 偽陽性率 — \(P(B \mid \neg A)\)
- \(A\) が偽である場合に証拠 \(B\) を観測する確率。診断検査の場合、1 - 特異度に等しいです。
- 証拠 / 周辺尤度 — \(P(B)\)
- すべての仮説の下で証拠を観測する全確率。全確率の法則により \(P(B) = P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \neg A)\,\bigl(1 - P(A)\bigr)\) として計算されます。これは事後確率を正規化する分母です。
- 事後確率 — \(P(A \mid B)\)
- 証拠 \(B\) を考慮した後の \(A\) の更新された確率。これはベイズの定理の出力です。
- 基本率
- 事前確率 \(P(A)\) の別の名前です。任意の特定の検査結果とは独立した、母集団における仮説の根本的な頻度です。
- ベイズの定理
- これらの量を関連付ける規則: \(P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}\)。表記法 \(P(X \mid Y)\) は「\(Y\) が与えられた場合の \(X\) の確率」と読まれ、\(\neg A\) は「\(A\) ではない」、仮説の補集合を表します。
よくある質問
なぜ計算例の事後確率はこんなに低いのですか？ 病気そのものが稀なため、病気の人が真陽性になる数よりも、健康な人が偽陽性になる数のほうが圧倒的に多くなるからです。
すでにP(B)がわかっている場合は？ 計算結果が一致するようにP(B|¬A)を調整することもできますが、本ツールは一貫性を保つため、常に全確率の法則からP(B)を導き出します。
入力値の合計は1になる必要がありますか？ いいえ。それぞれ0から1までの独立した確率です。互いに補完的な関係にあるのは\(P(A)\)と\((1 - P(A))\)だけです。
