貝氏定理計算機｜事後機率 P(A|B) 線上計算

總機率 P(B)	0.0882
公式	P(A\|B) = P(B\|A)·P(A) / P(B)

什麼是貝氏定理？

貝氏定理（Bayes' Theorem）說明了當我們取得新證據 B 時，該如何更新對假設 A 為真的機率判斷。它把原本的先驗（prior）信念，透過權衡「證據在假設成立下出現的可能性」與「證據整體出現的可能性」，轉換成更新後的事後（posterior）信念。這套思維是統計學、機器學習、醫學診斷、垃圾郵件過濾，乃至在不確定情境下做理性決策的核心基礎。

計算機怎麼用？

請輸入三個介於 0 到 1 之間的機率值：

P(A)——先驗機率，也就是假設為真的基礎發生率（例如某疾病在人群中的盛行率）。
P(B|A)——概似度，即假設 A 成立時觀察到證據的機率（例如檢測的敏感度）。
P(B|¬A)——偽陽性率，即假設 A 不成立時仍出現證據的機率。

計算機會依「全機率定律」自動推算出證據的總機率 $P(B)$，再回傳事後機率 $P(A \mid B)$。

公式解析

核心算式為 $$P(A \mid B) = \frac{\text{P(B|A)} \cdot \text{P(A)}}{\text{P(B|A)} \cdot \text{P(A)} + \text{P(B|¬A)} \cdot \left(1 - \text{P(A)}\right)}$$由於 $P(B)$ 通常無法直接得知，我們將它展開為 $$P(B) = \text{P(B|A)} \cdot \text{P(A)} + \text{P(B|¬A)} \cdot \left(1 - \text{P(A)}\right)$$這道展開式把「真陽性」與「偽陽性」兩部分加總起來，算出證據究竟有多常出現。

樹狀圖從根節點分出兩條假設分支，每條再分為檢測陽性與陰性兩種結果 — 機率樹展示先驗機率如何分成概似度與偽陽性兩個分支。

實際範例

假設某疾病在人群中的盛行率為 1%，因此 $P(A) = 0.01$。某項檢測對真正患病者有 90% 的命中率，即 $P(B \mid A) = 0.9$；但同時也有 8% 的偽陽性率，即 $P(B \mid \neg A) = 0.08$。則 $$P(B) = 0.9 \times 0.01 + 0.08 \times 0.99 = 0.009 + 0.0792 = 0.0882$$事後機率為 $$P(A \mid B) = \frac{0.009}{0.0882} \approx 0.102$$約為 10.2%。換句話說，即使檢測結果為「陽性」，這位受檢者其實多半是健康的——這正是「基礎率謬誤（base-rate neglect）」最經典的範例。

兩個相互重疊的矩形代表不同母體，重疊區域被高亮以顯示後驗機率 — 將後驗機率視覺化為相對於所有陽性結果的高亮重疊區域。

後驗概率如何在不同情景中變化

貝葉斯定理將先驗概率 $P(A)$、真陽性率（可能性）$P(B \mid A)$ 和偽陽性率 $P(B \mid \neg A)$ 結合成更新的後驗概率 $P(A \mid B)$。結果中最令人驚訝的單一特徵是它對基礎比率 $P(A)$ 的敏感性：當一個條件罕見時，即使是高度準確的測試也會產生較低的後驗概率。下表在某些地方固定了測試特性，並改變輸入以使該依賴性可見。

情景	先驗 P(A)	可能性 P(B\|A)	偽陽性率 P(B\|¬A)	後驗 P(A\|B)
罕見條件，準確的測試	0.01	0.99	0.05	0.1667
罕見條件，較低的偽陽性率	0.01	0.99	0.01	0.5
中等基礎比率，準確的測試	0.10	0.99	0.05	0.6875
常見條件，準確的測試	0.50	0.99	0.05	0.9519
罕見條件，高偽陽性率	0.01	0.90	0.20	0.0435

閱讀前兩行可以看出，將偽陽性率從 0.05 降低到 0.01 會將後驗從約 17% 提高到 50%，儘管基礎比率和敏感性保持不變。閱讀第一、三和四行可以看出，隨著先驗從 1% 上升到 50%，相同的測試將後驗從 17% 推高到約 95%。最後一行演示了相反的極端情況：罕見條件加上高偽陽性率會使後驗保持在 5% 以下，儘管真陽性率為 90%。

解釋您的後驗概率

後驗概率 $P(A \mid B)$ 是在您觀察到證據 $B$ 之後假設 $A$ 為真的概率。它回答實際問題「鑑於這個陽性結果，該條件實際存在的可能性有多大？」—— 這通常是決策者想知道的。

重要的是不要將後驗與可能性 $P(B \mid A)$ 混淆。可能性（在測試背景下通常稱為敏感性或真陽性率）是在假設 $A$ 為真時看到證據的概率。這兩個條件概率指向相反的方向，只有在特殊情況下才相等。測試可以有 99% 的真陽性率，但產生的後驗遠低於 99% —— 差異是由基礎比率和偽陽性率驅動的。

基礎比率 $P(A)$ 是這一差距的推動力。當 $A$ 罕見時，真實案例的池很小，因此即使應用於大量 $\neg A$ 人群的適度偽陽性率也會產生比真陽性更多的偽陽性。忽視基礎比率並將陽性結果解讀為幾乎確定是著名的基礎比率謬誤。

最後，貝葉斯更新是迭代的。計算後驗後，它可以作為下一個獨立證據的先驗。例如，觀察第二個陽性測試意味著您將第一個後驗作為 $P(A)$ 輸入並再次更新。重複的獨立證據會逐步完善估計，這就是為什麼貝葉斯推理是序列測試、垃圾郵件過濾和許多機器學習模型的基礎。

關鍵術語和變數

先驗—— $P(A)$: 在觀察證據之前分配給假設 $A$ 的概率。在測試背景下，這是條件的流行程度或基礎比率。
可能性—— $P(B \mid A)$: 當 $A$ 為真時觀察到證據 $B$ 的概率。對於診斷測試，這是敏感性或真陽性率。
偽陽性率—— $P(B \mid \neg A)$: 當 $A$ 為假時觀察到證據 $B$ 的概率。對於診斷測試，它等於 $1 - \text{特異性}$。
證據 / 邊際可能性—— $P(B)$: 在所有假設下觀察到證據的總概率，通過全概率法則計算為 $P(B) = P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \neg A)\,\bigl(1 - P(A)\bigr)$。它是歸一化後驗的分母。
後驗—— $P(A \mid B)$: 考慮證據 $B$ 後 $A$ 的更新概率。它是貝葉斯定理的輸出。
基礎比率: 先驗 $P(A)$ 的另一個名稱—— 假設在人群中的基礎頻率，與任何特定測試結果無關。
貝葉斯定理: 將這些量聯繫起來的規則：$P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}$。符號 $P(X \mid Y)$ 讀作「給定 $Y$ 時 $X$ 的概率」，$\neg A$ 表示「非 $A$」，即假設的補集。