什麼是中央極限定理？
中央極限定理（Central Limit Theorem，簡稱 CLT）是統計學的基石之一。它指出：當你從任何一個平均數為 \(\mu\)、標準差為 \(\sigma\) 的母體中，反覆抽取大小為 n 的隨機樣本時，隨著 n 越來越大，這些樣本平均數的分布會逐漸趨近常態分布——而且不論原始母體的形狀如何都成立。這個計算器會幫你算出該抽樣分布的兩個關鍵參數：它的平均數與標準誤。
如何使用這個計算器
輸入母體平均數（\(\mu\)）、母體標準差（\(\sigma\)），以及你的樣本數（n）。工具會回傳抽樣分布的平均數（其值等於 \(\mu\)）、平均數的標準誤（SE），以及樣本平均數的變異數（\(\sigma^2/n\)）。一個常用的經驗法則是：當 n ≥ 30 時，常態近似就相當可靠。
公式解析
中央極限定理告訴我們關於樣本平均數抽樣分布的兩件事。第一，它的中心與母體一致：
$$\mu_{\bar{x}} = \mu$$第二，隨著樣本越大，它的離散程度就越小：
$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$由於除以 \(\sqrt{n}\) 會降低變異性，因此樣本越大，對真實平均數的估計就越精準。樣本平均數的變異數，正好就是標準誤的平方，也就是 \(\sigma^2/n\)。
實例演算
假設某母體的 \(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\)，而你抽取樣本數 \(n = 36\)。那麼 \(\mu_{\bar{x}} = 100\)，且
$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$樣本平均數的變異數為
$$\frac{15^2}{36} = \frac{225}{36} = 6.25$$換句話說，這些樣本平均數會緊密地集中在 100 附近，標準誤僅為 2.5。
常見問題
母體一定要是常態分布嗎？不需要。這正是中央極限定理強大之處——只要 n 夠大，即使母體是偏斜的，樣本平均數的抽樣分布仍會趨近常態。
樣本數要多大才算「夠大」？常見的準則是 n ≥ 30，不過若母體嚴重偏斜，可能需要更大的樣本。
為什麼樣本越大，標準誤反而越小？因為平均更多的觀測值能互相抵消隨機雜訊，所以 n 越大，平均數的估計就越穩定。
