Calculateur du théorème central limite

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Résultats

Erreur-type de la moyenne d'échantillon

2,5

ET = σ / √n

Moyenne de la distribution d'échantillonnage (μ_x̄)	100
Variance de la moyenne d'échantillon (σ²/n)	6,25

Qu'est-ce que le théorème central limite ?

Le théorème central limite (TCL) est l'un des piliers de la statistique. Il affirme que, lorsque l'on prélève de façon répétée des échantillons aléatoires de taille n dans une population quelconque de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, la distribution des moyennes d'échantillon tend vers une loi normale à mesure que n augmente — et ce, quelle que soit la forme de la population d'origine. Ce calculateur vous fournit les deux paramètres essentiels de cette distribution d'échantillonnage : sa moyenne et son erreur-type.

Une distribution de population asymétrique avec des flèches vers trois distributions d'échantillonnage en cloche qui se resserrent à mesure que la taille de l'échantillon augmente — À mesure que la taille de l'échantillon augmente, la distribution d'échantillonnage de la moyenne devient plus normale et plus étroite, quelle que soit la forme de la population.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez la moyenne de la population ($\mu$), son écart-type ($\sigma$) et la taille de votre échantillon (n). L'outil renvoie la moyenne de la distribution d'échantillonnage (égale à $\mu$), l'erreur-type de la moyenne (ET) et la variance de la moyenne d'échantillon ($\sigma^2/n$). Une règle empirique répandue veut qu'à partir de $n \geq 30$, l'approximation normale devienne fiable.

La formule expliquée

Le TCL nous apprend deux choses sur la distribution d'échantillonnage de la moyenne. D'abord, son centre coïncide avec celui de la population :

$$\mu_{\bar{x}} = \text{Mean }(\mu)$$

Ensuite, sa dispersion diminue à mesure que les échantillons grandissent :

$$SE = \frac{\text{SD }(\sigma)}{\sqrt{\text{Sample size }(n)}}$$

Comme la division par $\sqrt{n}$ réduit la variabilité, des échantillons plus grands fournissent des estimations plus précises de la vraie moyenne. La variance de la moyenne d'échantillon n'est autre que le carré de l'erreur-type, soit $\sigma^2/n$.

Formule de l'erreur type affichée comme sigma divisé par la racine carrée de n, avec une courbe large qui se resserre quand n augmente — L'erreur type diminue à mesure que la taille de l'échantillon n augmente.

Exemple concret

Supposons une population de moyenne $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 15$, dans laquelle on prélève des échantillons de taille $n = 36$. On obtient alors $\mu_{\bar{x}} = 100$ et $$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2{,}5$$ La variance de la moyenne d'échantillon vaut $$\frac{15^2}{36} = \frac{225}{36} = 6{,}25$$ Les moyennes d'échantillon se regroupent donc étroitement autour de 100, avec une erreur-type de seulement 2,5.

FAQ

La population doit-elle suivre une loi normale ? Non. C'est précisément toute la puissance du TCL : pour un n suffisamment grand, la distribution d'échantillonnage de la moyenne est approximativement normale, même si la population est asymétrique.

Quelle taille d'échantillon est « suffisamment grande » ? On retient généralement le seuil $n \geq 30$, sachant que des populations très asymétriques peuvent en exiger davantage.

Pourquoi l'erreur-type diminue-t-elle quand l'échantillon grandit ? En moyennant un plus grand nombre d'observations, on neutralise le bruit aléatoire : l'estimation de la moyenne devient ainsi plus stable à mesure que n augmente.

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