중심극한정리란?
중심극한정리(CLT)는 통계학의 핵심 원리입니다. 평균이 μ, 표준편차가 σ인 어떤 모집단에서 크기 n의 무작위 표본을 반복해서 뽑으면, 원래 모집단의 분포 모양과 상관없이 n이 커질수록 표본평균의 분포가 점점 정규분포에 가까워진다는 것이 핵심입니다. 이 계산기는 그 표본분포의 두 가지 핵심 값, 즉 평균과 표준오차를 구해 줍니다.
계산기 사용 방법
모집단 평균(μ), 모집단 표준편차(σ), 그리고 표본 크기(n)를 입력하세요. 계산기는 표본분포의 평균(μ와 같습니다), 표본평균의 표준오차(SE), 그리고 표본평균의 분산(\(\sigma^{2}/n\))을 알려 줍니다. 보통 \(n \ge 30\)이면 정규근사가 충분히 안정적이라는 경험 법칙이 널리 쓰입니다.
공식 설명
중심극한정리는 표본평균의 분포에 대해 두 가지를 말해 줍니다. 첫째, 분포의 중심은 모집단과 같습니다:
$$\mu_{\bar{x}} = \mu$$둘째, 표본이 커질수록 분포가 좁아집니다:
$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$\(\sqrt{n}\)으로 나누면 변동성이 줄어들기 때문에, 표본이 클수록 참평균에 대한 추정이 더 정밀해집니다. 표본평균의 분산은 표준오차를 제곱한 값, 즉 \(\sigma^{2}/n\)입니다.
예제로 살펴보기
모집단의 μ = 100, σ = 15이고 크기 n = 36인 표본을 뽑는다고 가정해 봅시다. 그러면 \(\mu_{\bar{x}} = 100\)이고,
$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$가 됩니다. 표본평균의 분산은
$$\frac{15^{2}}{36} = \frac{225}{36} = 6.25$$입니다. 따라서 표본평균들은 표준오차 2.5로 100 주변에 촘촘히 모이게 됩니다.
자주 묻는 질문
모집단이 반드시 정규분포여야 하나요? 아닙니다. 바로 이 점이 중심극한정리의 강력함입니다. n이 충분히 크면 모집단이 한쪽으로 치우쳐 있어도 표본평균의 분포는 거의 정규분포에 가까워집니다.
"충분히 큰" 표본 크기는 어느 정도인가요? 흔히 \(n \ge 30\)을 기준으로 삼지만, 치우침이 심한 모집단에서는 더 많은 표본이 필요할 수 있습니다.
표본이 클수록 표준오차가 작아지는 이유는? 더 많은 관측값을 평균 내면 무작위 잡음이 서로 상쇄되어, n이 커질수록 평균 추정값이 더 안정적으로 변하기 때문입니다.
