연속성 수정이란?
이산형인 이항분포를 연속형인 정규분포로 근사할 때, 정수 값에 정확히 몰려 있던 확률질량이 매끄러운 곡선 위로 '퍼지게' 됩니다. 연속성 수정은 이 차이를 보정하기 위해 경계값을 z-점수로 변환하기 전에 ±0.5만큼 이동시키는 방법입니다. 이렇게 하면 정규근사의 정확도가 눈에 띄게 높아지는데, 특히 표본 크기가 작거나 중간 정도일 때 그 효과가 큽니다.
계산기 사용법
시행 횟수 n, 성공 확률 p, 그리고 관심 있는 값 x를 입력하세요. 그런 다음 근사하려는 확률 유형을 선택합니다. \(P(X \le x)\)는 x에 0.5를 더하고, \(P(X \ge x)\)는 0.5를 빼며, \(P(X = x)\)는 양쪽 경계의 z-점수를 모두 반환합니다. 계산기는 수정된 z-점수와 함께 평균(\(np\)), 표준편차 \(\sqrt{np(1-p)}\)도 함께 보여줍니다.
공식 이해하기
이항분포의 평균은 \(\mu = np\)이고 표준편차는 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)입니다. 연속성 수정을 적용한 z-점수는 다음과 같이 구합니다.
$$z = \frac{(\text{x} \pm 0.5) - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$이렇게 얻은 z 값을 표준정규분포표에서 찾거나 정규 누적분포함수(CDF)에 대입하면 근사 확률을 구할 수 있습니다.
예제로 보는 계산
예를 들어 \(n = 100\), \(p = 0.5\)일 때 \(P(X \le 60)\)을 구해 봅시다. 평균은 \(np = 50\)이고 \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5\)입니다. 여기에 연속성 수정을 적용하면 다음과 같이 됩니다.
$$z = \frac{60 + 0.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$$따라서 \(P(X \le 60) \approx \Phi(2.1) \approx 0.9821\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
0.5를 더해야 할 때와 빼야 할 때는 어떻게 구분하나요? 부등호가 아래쪽에서 그 값을 포함할 때(\(P(X \le x)\))는 0.5를 더하고, 위쪽에서 포함할 때(\(P(X \ge x)\))는 0.5를 뺍니다.
정규근사는 언제 사용할 수 있나요? 일반적으로 \(np \ge 5\)와 \(n(1-p) \ge 5\)를 동시에 만족할 때 정규근사가 타당하다고 봅니다.
굳이 연속성 수정을 해야 하는 이유는? 수정을 하지 않으면 이산형 데이터의 꼬리 확률을 정규근사가 체계적으로 과소 또는 과대 추정하게 됩니다. ±0.5 이동은 이런 편향을 대부분 제거해 줍니다.
