Qu'est-ce que la correction de continuité ?
Lorsqu'on approche une loi binomiale discrète par la loi normale continue, la masse de probabilité concentrée sur les valeurs entières se trouve « étalée » le long d'une courbe lisse. La correction de continuité compense ce phénomène en décalant la valeur frontière de ±0,5 avant de calculer le score z. Résultat : l'approximation normale gagne nettement en précision, en particulier pour les échantillons de taille petite à modérée.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre d'essais n, la probabilité de succès p et la valeur x qui vous intéresse. Choisissez ensuite le type de probabilité à approcher : P(X ≤ x) ajoute 0,5 à x, P(X ≥ x) en retranche 0,5, et P(X = x) renvoie les deux scores z aux bornes. Le calculateur affiche le score z corrigé, ainsi que la moyenne \((\text{np})\) et l'écart-type \(\sqrt{\text{np}(1-\text{p})}\).
La formule expliquée
La moyenne de la loi binomiale vaut \(\mu = \text{np}\) et son écart-type \(\sigma = \sqrt{\text{np}(1-\text{p})}\). Le score z corrigé par continuité s'écrit $$z = \frac{(\text{x} \pm 0{,}5) - \text{np}}{\sqrt{\text{np}(1-\text{p})}}.$$ Il suffit ensuite de consulter ce z dans une table de la loi normale centrée réduite (ou d'utiliser une fonction de répartition normale) pour obtenir la probabilité approchée.
Exemple résolu
Supposons \(\text{n} = 100\), \(\text{p} = 0{,}5\) et que l'on cherche \(P(X \le 60)\). La moyenne est \(\text{np} = 50\) et $$\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5.$$ En appliquant la correction : $$z = \frac{60 + 0{,}5 - 50}{5} = \frac{10{,}5}{5} = 2{,}1.$$ On obtient donc \(P(X \le 60) \approx \Phi(2{,}1) \approx 0{,}9821\).
FAQ
Quand faut-il ajouter ou retrancher 0,5 ? Ajoutez 0,5 lorsque l'inégalité inclut la valeur par en dessous \((P(X \le x))\) ; retranchez 0,5 lorsqu'elle l'inclut par au-dessus \((P(X \ge x))\).
Quand l'approximation normale est-elle valable ? Une règle empirique courante exige que l'on ait à la fois \(\text{np} \ge 5\) et \(\text{n}(1-\text{p}) \ge 5\).
Pourquoi appliquer cette correction ? Sans elle, l'approximation normale sous-estime ou surestime systématiquement les probabilités de queue pour des données discrètes ; le décalage de ±0,5 élimine la majeure partie de ce biais.
