Ce que fait ce calculateur
Cet outil décrit la distribution d'échantillonnage de la proportion (p̂). Lorsque vous prélevez de façon répétée des échantillons aléatoires de taille n dans une population dont la proportion réelle est p, les proportions échantillonnales obtenues forment à leur tour une distribution. Ce calculateur en donne la moyenne et l'erreur type, ce qui vous permet de construire des intervalles de confiance, de mener des tests d'hypothèses ou d'évaluer la variabilité d'échantillonnage.
Comment l'utiliser
Saisissez la proportion de la population p sous forme décimale comprise entre 0 et 1 (par exemple, 0,4 pour 40 %), puis indiquez la taille de l'échantillon n. Le calculateur affiche instantanément la moyenne (qui est égale à p), la variance et l'erreur type (ET) de la distribution d'échantillonnage.
La formule expliquée
La moyenne de la distribution d'échantillonnage est égale à la proportion de la population : \(\mu_{\hat{p}} = p\). L'erreur type mesure l'ampleur de la dispersion des proportions échantillonnales autour de p ; elle se calcule par
$$\mu_{\hat{p}} = p, \qquad \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p\,(1 - p)}{n}}$$Plus l'échantillon est grand, plus l'erreur type diminue, et plus votre estimation gagne en précision. D'après le théorème central limite, la distribution est approximativement normale dès que \(np \ge 10\) et \(n(1-p) \ge 10\).
Exemple concret
Supposons \(p = 0{,}5\) et \(n = 100\). La moyenne vaut 0,5. La variance est
$$0{,}5 \times 0{,}5 / 100 = 0{,}0025$$et l'erreur type est
$$\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$$Ainsi, les proportions échantillonnales se situent généralement à environ ±0,05 autour de 0,5.
FAQ
Pourquoi la moyenne est-elle égale à p ? Parce que la proportion échantillonnale est un estimateur sans biais de la proportion de la population : en moyenne, elle atteint la valeur réelle.
Que se passe-t-il quand n augmente ? L'erreur type diminue proportionnellement à \(1/\sqrt{n}\) ; les estimations deviennent donc plus précises avec des échantillons plus grands.
Quand l'approximation normale est-elle valable ? Une règle courante consiste à vérifier \(np \ge 10\) et \(n(1-p) \ge 10\) ; sinon, envisagez les méthodes binomiales exactes.
