样本比例抽样分布计算器

结果

样本比例的标准误

0.05

p̂ 的标准误

这款计算器的用途

本工具用来描述样本比例的抽样分布（p̂）。当你从一个真实比例为 $p$ 的总体中反复抽取样本量为 $n$ 的随机样本时，每次得到的样本比例本身会形成一个新的分布。计算器会给出该分布的均值和标准误，帮助你构建置信区间、进行假设检验，或评估抽样波动的大小。

将总体比例 p 以 0 到 1 之间的小数形式填入（例如 40% 就输入 0.4），再填入样本量 n。计算器会立即输出抽样分布的均值（等于 p）、方差以及标准误（SE）。

抽样分布的均值等于总体比例：

$$\mu_{\hat{p}} = \text{p}$$

标准误衡量的是样本比例围绕 p 的离散程度，计算公式为

$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\text{p}\,(1 - \text{p})}{\text{n}}}$$

样本越大，标准误越小，估计就越精确。根据中心极限定理，当 $np \geq 10$ 且 $n(1-p) \geq 10$ 时，该分布可近似看作正态分布。

假设 $p = 0.5$、$n = 100$。此时均值为 0.5，方差为

$$0.5 \times 0.5 / 100 = 0.0025$$

标准误为

$$\sqrt{0.0025} = 0.05$$

也就是说，样本比例通常会落在 0.5 上下约 ±0.05 的范围内。

为什么均值等于 p？因为样本比例是总体比例的无偏估计量——平均来看，它恰好命中真实值。

n 增大时会怎样？标准误会以 $1/\sqrt{n}$ 的比例减小，因此样本越大，估计越精确。

正态近似在什么情况下成立？常用的判断标准是 $np \geq 10$ 且 $n(1-p) \geq 10$；否则建议改用精确的二项分布方法。