什么是瑞利分布？
瑞利分布（Rayleigh distribution）是一种针对非负取值的连续概率分布，仅由一个尺度参数 \(\sigma\)（sigma）决定。当一个二维向量的两个分量是相互独立、均值为零、方差相等的正态随机变量时，该向量的模长就服从瑞利分布。它在信号处理（衰落信道）、风速建模、MRI 图像噪声以及可靠性工程等领域应用广泛。
如何使用本计算器
填入你想求解概率密度和累积概率的取值 x，以及尺度参数 \(\sigma\)。计算器会返回概率密度 \(f(x)\)、累积分布 \(F(x)\)，以及该分布的均值、方差、中位数和众数。注意 \(x\) 和 \(\sigma\) 都必须为非负数，且 \(\sigma\) 必须大于零。
公式详解
当 \(x \ge 0\) 时，概率密度为 $$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ 累积分布函数为 $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ 几个核心的汇总统计量分别是：均值 \(\mu = \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\)，方差 \(\frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2}\)，中位数 \(\sigma\sqrt{2\ln 2}\)，众数 \(\sigma\)。 $$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$ 值得注意的是，众数恰好等于 \(\sigma\) —— 密度曲线的峰值始终位于 \(x = \sigma\) 处。
实例演算
设 \(\sigma = 1\)，\(x = 2\)。则 \(\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{4}{2} = 2\)，因此 \(e^{-2} \approx 0.135335\)。概率密度为 \(\frac{2}{1}\cdot 0.135335 = 0.270671\)；累积分布为 \(1 - 0.135335 = 0.864665\)。均值为 \(\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \approx 1.253314\)，方差为 \(\frac{4-\pi}{2} \approx 0.429204\)，中位数为 \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1.177410\)，众数为 \(1\)。
常见问题
瑞利分布对负数 x 有定义吗？没有。它的取值范围仅为 \(x \ge 0\)；当 \(x\) 为负数时，密度恒为零。
\(\sigma\) 与均值是什么关系？均值与 \(\sigma\) 呈线性关系：\(\mu = \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \approx 1.2533\,\sigma\)。
它与正态分布有什么联系？如果 \(X\) 和 \(Y\) 是相互独立的 \(N(0, \sigma^{2})\) 随机变量，那么 \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) 就服从尺度参数为 \(\sigma\) 的瑞利分布。
