ما هو توزيع رايلي؟
توزيع رايلي هو توزيع احتمالي مُتّصل للقيم غير السالبة، ويُعرَّف بمعامل قياس واحد فقط هو σ (سيغما). ينشأ هذا التوزيع طبيعيًا بوصفه مقدار (طول) متجه ثنائي الأبعاد تكون مركبتاه متغيرين عشوائيين طبيعيين مستقلين، بمتوسط صفري وتباين متساوٍ. ويُستخدم على نطاق واسع في معالجة الإشارات (قنوات التلاشي)، ونمذجة سرعة الرياح، وضوضاء التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI)، وهندسة الموثوقية.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل القيمة x التي تريد عندها حساب الكثافة والاحتمال التراكمي، ثم أدخل معامل القياس σ. تُرجِع الحاسبة دالة الكثافة \(f(x)\)، ودالة التوزيع التراكمي \(F(x)\)، إضافة إلى متوسط التوزيع وتباينه ووسيطه ومنواله. يجب أن تكون كل من \(x\) و \(\sigma\) غير سالبتين، كما يجب أن يكون \(\sigma\) أكبر من الصفر.
شرح المعادلات
دالة الكثافة الاحتمالية هي $$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ عندما \(x \ge 0\). أما دالة التوزيع التراكمي فهي $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ وأهم المقاييس الإحصائية الموجزة هي: المتوسط \(\mu = \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\)، والتباين \(\frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2}\)، والوسيط \(\sigma\sqrt{2\ln 2}\)، والمنوال \(\sigma\). لاحظ أن المنوال يساوي \(\sigma\) تمامًا — أي أن قمة الكثافة تقع دائمًا عند \(x = \sigma\).
مثال محلول
لنفترض أن \(\sigma = 1\) و \(x = 2\). عندئذٍ \(\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{4}{2} = 2\)، ومن ثَمّ \(e^{-2} \approx 0.135335\). تكون دالة الكثافة $$f(x) = \frac{2}{1}\cdot 0.135335 = 0.270671$$ وتكون دالة التوزيع التراكمي $$F(x) = 1 - 0.135335 = 0.864665$$ أما المتوسط فهو \(\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.253314\)، والتباين \(\frac{4-\pi}{2} \approx 0.429204\)، والوسيط \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1.177410\)، والمنوال \(1\).
الأسئلة الشائعة
هل توزيع رايلي مُعرَّف للقيم السالبة لـ \(x\)؟ لا. فهو معرَّف فقط عند \(x \ge 0\)، وتكون الكثافة صفرًا عند القيم السالبة.
كيف يرتبط \(\sigma\) بالمتوسط؟ يتناسب المتوسط طرديًا مع \(\sigma\): \(\mu = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.2533\,\sigma\).
ما العلاقة بالتوزيع الطبيعي؟ إذا كان \(X\) و \(Y\) متغيرين مستقلين يتبعان التوزيع الطبيعي \(N(0, \sigma^{2})\)، فإن \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) يتبع توزيع رايلي بمعامل قياس \(\sigma\).
