レイリー分布とは？
レイリー分布は、非負の値を対象とする連続確率分布で、ただ一つの尺度母数 \(\sigma\)（シグマ）によって定まります。互いに独立で平均ゼロ・分散が等しい正規分布に従う2成分からなる2次元ベクトルの「大きさ（ノルム）」が従う分布として自然に現れます。信号処理（フェージングチャネル）、風速のモデリング、MRIのノイズ解析、信頼性工学など、幅広い分野で活用されています。
この計算機の使い方
密度と累積確率を求めたい値 x と、尺度母数 \(\sigma\) を入力してください。確率密度 \(f(x)\)、累積分布 \(F(x)\)、そして分布の平均・分散・中央値・最頻値が表示されます。x と \(\sigma\) はいずれも非負である必要があり、\(\sigma\) は 0 より大きくしてください。
計算式の解説
確率密度は \(x \ge 0\) のとき次の式で表されます。
$$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$累積分布は次のとおりです。
$$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$主な要約統計量は次のとおりです。
$$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$最頻値がちょうど \(\sigma\) に等しい点に注目してください。密度のピークは常に \(x = \sigma\) の位置にあります。
計算例
\(\sigma = 1\)、\(x = 2\) としましょう。このとき \(x^{2}/(2\sigma^{2}) = 4/2 = 2\) なので、\(e^{-2} \approx 0.135335\) となります。PDF は \((2/1)\cdot 0.135335 = 0.270671\)、CDF は \(1 - 0.135335 = 0.864665\) です。平均は \(\sqrt{\pi/2} \approx 1.253314\)、分散は \((4-\pi)/2 \approx 0.429204\)、中央値は \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1.177410\)、最頻値は 1 になります。
よくある質問
レイリー分布は負の x に対しても定義されますか？ いいえ。定義域は \(x \ge 0\) のみで、負の値に対する密度は 0 です。
\(\sigma\) と平均はどのような関係にありますか？ 平均は \(\sigma\) に比例して大きくなります。\(\mu = \sigma\cdot\sqrt{\pi/2} \approx 1.2533\cdot\sigma\) です。
正規分布とはどのような関係がありますか？ X と Y が互いに独立に \(N(0, \sigma^{2})\) に従うとき、\(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) は尺度母数 \(\sigma\) のレイリー分布に従います。
