레일리 분포란?
레일리 분포(Rayleigh distribution)는 0 이상의 값에 대해 정의되는 연속확률분포로, 척도모수 σ(시그마) 하나만으로 형태가 결정됩니다. 평균이 0이고 분산이 같은 두 개의 독립적인 정규 확률변수를 성분으로 갖는 2차원 벡터의 크기(magnitude)가 바로 이 분포를 따릅니다. 신호처리 분야의 페이딩 채널 분석, 풍속 모델링, MRI 잡음 분석, 신뢰성 공학 등에서 폭넓게 활용됩니다.
계산기 사용 방법
밀도와 누적확률을 구하고 싶은 x 값과 척도모수 σ를 입력하세요. 계산기는 확률밀도함수 \(f(x)\), 누적분포함수 \(F(x)\)와 함께 분포의 평균, 분산, 중앙값, 최빈값을 함께 알려줍니다. x와 σ는 모두 0 이상이어야 하며, σ는 0보다 커야 합니다.
공식 자세히 보기
확률밀도함수는 \(x \geq 0\)에서 다음과 같이 정의됩니다.
$$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$누적분포함수는 다음과 같습니다.
$$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$주요 요약 통계량은 다음과 같습니다.
$$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$여기서 최빈값이 정확히 σ와 같다는 점이 특징인데, 밀도함수의 정점은 언제나 \(x = \sigma\) 지점에 위치합니다.
예제로 풀어보기
σ = 1, x = 2라고 해봅시다. 그러면 \(x^{2}/(2\sigma^{2}) = 4/2 = 2\)이므로 \(e^{-2} \approx 0.135335\)입니다. 따라서 PDF는 \((2/1)\cdot 0.135335 = 0.270671\)이고, CDF는 \(1 - 0.135335 = 0.864665\)가 됩니다. 평균은 \(\sqrt{\pi/2} \approx 1.253314\), 분산은 \((4-\pi)/2 \approx 0.429204\), 중앙값은 \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1.177410\), 최빈값은 1입니다.
자주 묻는 질문
레일리 분포는 음수 x에서도 정의되나요? 아닙니다. \(x \geq 0\) 범위에서만 정의되며, 음수 값에서는 밀도가 0입니다.
σ는 평균과 어떤 관계가 있나요? 평균은 σ에 비례해서 선형적으로 증가합니다. \(\mu = \sigma\cdot\sqrt{\pi/2} \approx 1.2533\cdot\sigma\)입니다.
정규분포와는 어떤 관계가 있나요? X와 Y가 서로 독립이고 각각 \(N(0, \sigma^{2})\)를 따른다면, \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\)는 척도모수 σ를 갖는 레일리 분포를 따릅니다.
