रेले वितरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

मान (x)

स्केल पैरामीटर (σ)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Cumulative Distribution Function (CDF)

   

   CDF of the Rayleigh distribution for x >= 0

2. Mean, Variance, Mode and Median

   

   Distribution statistics: mean, variance, mode and median in terms of the scale parameter

परिणाम

प्रायिकता घनत्व f(x)

0.270671

x पर रेले PDF का मान

संचयी प्रायिकता F(x)	0.864665
माध्य	1.2533
प्रसरण	0.4292
माध्यिका	1.1774
बहुलक	1

रेले वितरण क्या है?

रेले वितरण (Rayleigh distribution) ऋण-रहित मानों के लिए एक सतत प्रायिकता वितरण है, जिसे एक अकेले स्केल पैरामीटर σ (सिग्मा) से परिभाषित किया जाता है। यह स्वाभाविक रूप से तब उभरता है जब किसी द्वि-आयामी सदिश का परिमाण निकाला जाए, जिसके घटक स्वतंत्र, शून्य-माध्य वाले और समान प्रसरण वाले प्रसामान्य (normal) यादृच्छिक चर हों। इसका व्यापक उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग (फेडिंग चैनल), पवन-गति मॉडलिंग, MRI के शोर और विश्वसनीयता इंजीनियरिंग में होता है।

रेले PDF वक्र: बड़ा सिग्मा शिखर को दाईं ओर खिसकाता है और वक्र को चपटा करता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

वह मान x दर्ज करें जिस पर आपको घनत्व और संचयी प्रायिकता चाहिए, और साथ में स्केल पैरामीटर σ भी डालें। कैलकुलेटर आपको PDF \(f(x)\), CDF \(F(x)\), तथा वितरण का माध्य, प्रसरण, माध्यिका और बहुलक लौटाता है। ध्यान रहे कि \(x\) और \(\sigma\) दोनों ऋण-रहित होने चाहिए, और \(\sigma\) का मान शून्य से बड़ा होना ज़रूरी है।

सूत्रों की व्याख्या

प्रायिकता घनत्व इस प्रकार है:

$$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$

जहाँ \(x \ge 0\) हो। संचयी वितरण है:

$$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$

मुख्य सारांश आँकड़े इस प्रकार हैं —

$$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$

ध्यान दें कि बहुलक बिल्कुल \(\sigma\) के बराबर होता है — घनत्व का शिखर हमेशा \(x = \sigma\) पर ही स्थित रहता है।

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x तक PDF के नीचे का छायांकित क्षेत्र CDF है; बिंदु बहुलक दर्शाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(\sigma = 1\) और \(x = 2\) है। तब \(x^{2}/(2\sigma^{2}) = 4/2 = 2\), अतः \(e^{-2} \approx 0.135335\)। इसलिए PDF \(= (2/1)\cdot 0.135335 = 0.270671\) है। CDF \(= 1 - 0.135335 = 0.864665\) है। माध्य \(= \sqrt{\pi/2} \approx 1.253314\), प्रसरण \(= (4-\pi)/2 \approx 0.429204\), माध्यिका \(= \sqrt{2\ln 2} \approx 1.177410\), और बहुलक \(= 1\) है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या रेले वितरण ऋणात्मक x के लिए परिभाषित है? नहीं। यह केवल \(x \ge 0\) पर ही लागू होता है; ऋणात्मक मानों के लिए इसका घनत्व शून्य रहता है।

σ का माध्य से क्या संबंध है? माध्य, \(\sigma\) के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है: \(\mu = \sigma\cdot\sqrt{\pi/2} \approx 1.2533\,\sigma\)।

प्रसामान्य वितरण से इसका क्या संबंध है? यदि \(X\) और \(Y\) स्वतंत्र रूप से \(N(0, \sigma^{2})\) वितरण का पालन करते हैं, तो \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) स्केल \(\sigma\) वाले रेले वितरण का पालन करता है।