सहसंबंध गुणांक क्या है?
Pearson सहसंबंध गुणांक, जिसे r से दर्शाया जाता है, यह मापता है कि दो चर (variables) किसी सीधी रेखा के रूप में एक-दूसरे के साथ कितनी मज़बूती से चलते हैं। इसका मान हमेशा −1 और +1 के बीच रहता है। +1 के पास का मान मज़बूत धनात्मक रैखिक संबंध दर्शाता है (जैसे-जैसे X बढ़ता है, Y भी बढ़ता है), −1 के पास का मान मज़बूत ऋणात्मक संबंध दिखाता है, और 0 के आसपास का मान बताता है कि लगभग कोई रैखिक संबंध नहीं है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने X मान और उनसे मेल खाते Y मान दर्ज करें, हर सूची को अल्पविराम (,) या स्पेस से अलग करके लिखें। दोनों सूचियों में प्रविष्टियों की संख्या समान होनी चाहिए; यदि अलग-अलग हो, तो केवल शुरुआती मेल खाते युग्म ही गिने जाएँगे। कैलकुलेटर आपको r, निर्धारण गुणांक r², सहप्रसरण, दोनों सेट के माध्य, तथा सर्वश्रेष्ठ-फ़िट प्रतिगमन रेखा का ढाल (slope) और अंतःखंड (intercept) देता है।
सूत्र की व्याख्या
हर युग्म के लिए हम x का उसके माध्य से विचलन \((x - \bar{x})\) और y का उसके माध्य से विचलन \((y - \bar{y})\) निकालते हैं। अंश (numerator) इन विचलनों के गुणनफलों का योग होता है; हर (denominator) वर्ग किए गए विचलनों के योगों के गुणनफल का वर्गमूल होता है। भाग देने से परिणाम −1 से +1 की सीमा में मानकीकृत (standardize) हो जाता है, इसलिए इसका परिमाण माप की इकाइयों पर निर्भर नहीं करता।
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए X = 1, 2, 3, 4, 5 और Y = 2, 4, 5, 4, 5। यहाँ माध्य \(\bar{x} = 3\) और \(\bar{y} = 4\) हैं। विचलनों के गुणनफलों का योग 6 है, \(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\) और \(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\)। तो $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ जिससे \(r^2 \approx 0.6\) मिलता है। यह काफ़ी मज़बूत धनात्मक रैखिक संबंध दर्शाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सहसंबंध का मतलब कारण-संबंध होता है? नहीं। ऊँचा r केवल यह दिखाता है कि दोनों चर साथ-साथ बदलते हैं; यह सिद्ध नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है।
"मज़बूत" सहसंबंध किसे कहते हैं? मोटे तौर पर, \(|r|\) का मान 0.7 से अधिक होने पर मज़बूत, 0.3–0.7 के बीच मध्यम, और 0.3 से कम होने पर कमज़ोर माना जाता है — पर संदर्भ अहम होता है।
r² क्यों मायने रखता है? r² बताता है कि Y में होने वाले बदलाव का कितना हिस्सा X के साथ इसके रैखिक संबंध से समझाया जा सकता है; 0.6 का r² यानी Y के विचरण (variance) का 60% इससे स्पष्ट होता है।
