पियर्सन सहसंबंध गुणांक क्या है?
पियर्सन सहसंबंध गुणांक, जिसे r से दर्शाया जाता है, दो संख्यात्मक चरों X और Y के बीच रैखिक (linear) संबंध की मजबूती और दिशा को मापता है। इसका मान हमेशा −1 और +1 के बीच रहता है। +1 का मतलब है पूर्ण धनात्मक रैखिक संबंध, −1 का मतलब है पूर्ण ऋणात्मक संबंध, और 0 का मतलब है कि दोनों चरों के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने X मान और उनसे मेल खाते Y मान दर्ज करें, जिन्हें अल्पविराम (,) या स्पेस से अलग किया गया हो। हर X का उसी स्थान पर मौजूद Y के साथ जोड़ा बनना चाहिए, इसलिए दोनों सूचियों में प्रविष्टियों की संख्या समान होनी चाहिए। कैलकुलेटर आपको \(r\), निर्धारण गुणांक \(r^2\), जोड़ों की संख्या, और गणना में इस्तेमाल किए गए सभी बीच के योगफल देता है, ताकि आप चाहें तो हाथ से भी हिसाब जाँच सकें।
सूत्र की व्याख्या
यहाँ इस्तेमाल किया गया गणनात्मक रूप यह है:
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$यहाँ \(n\) डेटा जोड़ों की संख्या है, \(\sum xy\) हर X और Y के गुणनफलों का योग है, \(\sum x\) और \(\sum y\) हर चर के योग हैं, और \(\sum x^2\) तथा \(\sum y^2\) वर्गों के योग हैं। अंश (numerator) दर्शाता है कि X और Y किस तरह साथ-साथ बदलते हैं (\(n\) से मापा गया सहप्रसरण), जबकि हर (denominator) हर चर के फैलाव के अनुसार इसे सामान्यीकृत कर देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए X = 1, 2, 3, 4, 5 और Y = 2, 4, 5, 4, 5। तब \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^2 = 55\), \(\sum y^2 = 86\) होगा। अंश है $$5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30$$ हर है $$\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38.7298$$ इसलिए \(r \approx 30 / 38.7298 \approx 0.7746\), यानी एक मजबूत धनात्मक सहसंबंध।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(r^2\) मुझे क्या बताता है? निर्धारण गुणांक \(r^2\), एक चर में मौजूद उस विचरण (variance) का अनुपात है जिसे दूसरे चर के साथ रैखिक फिट के जरिए समझाया जा सकता है। ऊपर दिए उदाहरण में \(r^2 \approx 0.60\) है, यानी लगभग 60% विचरण को समझाया जा सकता है।
क्या सहसंबंध का मतलब कारण-संबंध (causation) है? नहीं। ज्यादा \(r\) केवल यह दिखाता है कि दो चर रैखिक रूप से साथ-साथ बदलते हैं; यह साबित नहीं करता कि एक चर दूसरे का कारण है।
अगर मेरी दोनों सूचियों की लंबाई अलग हो तो? केवल पहले \(n\) जोड़े (यानी छोटी सूची की लंबाई तक) ही इस्तेमाल किए जाते हैं, इसलिए सुनिश्चित करें कि आपका डेटा सही ढंग से जोड़ों में मेल खाता हो।
