ピアソンの相関係数とは？
ピアソンの相関係数（記号は r）は、2つの数値変数 X と Y の間にある直線的（線形）な関係の「強さ」と「向き」を表す指標です。値は必ず −1 から +1 の範囲に収まります。+1 は完全な正の直線関係、−1 は完全な負の直線関係を意味し、0 は直線的な関係がまったくないことを示します。
この計算ツールの使い方
X の値と、それに対応する Y の値を、カンマまたはスペースで区切って入力してください。各 X は同じ位置にある Y と1対1で対応するため、2つのリストの個数は揃える必要があります。計算後は、相関係数 \(r\)、決定係数 \(r^2\)、データ組の数、そして計算過程で使われるすべての中間合計が表示されるので、手計算での検算にも役立ちます。
計算式の解説
ここで用いている計算用の式は次のとおりです。
$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}$$\(n\) はデータ組の数、\(\sum xy\) は各 X と Y の積の合計、\(\sum x\) と \(\sum y\) はそれぞれの変数の合計、\(\sum x^2\) と \(\sum y^2\) はそれぞれの二乗の合計です。分子は X と Y がどれだけ一緒に変動するか（n でスケーリングした共分散）を捉え、分母は各変数のばらつきによって正規化する役割を果たします。
計算例
X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5 とします。このとき \(n = 5\)、\(\sum x = 15\)、\(\sum y = 20\)、\(\sum xy = 66\)、\(\sum x^2 = 55\)、\(\sum y^2 = 86\) となります。分子は \(5\cdot 66 - 15\cdot 20 = 330 - 300 = 30\)。分母は $$\sqrt{(5\cdot 55 - 225)(5\cdot 86 - 400)} = \sqrt{50 \cdot 30} = \sqrt{1500} \approx 38.7298$$ です。したがって \(r \approx 30 / 38.7298 \approx 0.7746\) となり、強い正の相関を示します。
よくある質問（FAQ）
\(r^2\) は何を表しますか？ 決定係数 \(r^2\) は、一方の変数のばらつき（分散）のうち、もう一方の変数との直線あてはめによって説明できる割合を示します。上の例では \(r^2 \approx 0.60\) なので、変動のおよそ 60% が説明できることになります。
相関があれば因果関係があると言えますか？ いいえ。\(r\) が高いということは、2つの変数が直線的に一緒に動くことを示すだけで、一方がもう一方の原因であることを証明するものではありません。
2つのリストの長さが違う場合はどうなりますか？ 短い方のリストの長さ（\(n\)）に合わせ、先頭から \(n\) 組だけが使われます。データが正しく対応しているか必ず確認してください。
