ピアソンの相関係数とは？
ピアソンの相関係数（記号は r）は、2つの数値変数がどれくらい直線的（線形）に連動して変化するかを示す指標です。値は必ず -1 から +1 の範囲に収まります。+1 に近いほど両方の変数がそろって増加する関係を、-1 に近いほど一方が増えると他方が減る関係を、0 に近いほど線形の関係がほとんどないことを意味します。この指標は分野を問わず、ペアになった数値データであればどんなものにも使える汎用的なものです。
この計算ツールの使い方
X の値と Y の値を、カンマまたはスペースで区切って入力してください。それぞれの X は同じ位置にある Y とペアになるため、両方のリストは同じ個数のデータを持つ必要があります。「計算する」を押すと、\(r\) に加えて決定係数（\(r^2\)）、最小二乗法による回帰直線の傾きと切片、共分散が表示されます。
計算式の解説
各データ点について、x とその平均との差（\(x - \bar{x}\)）、および y とその平均との差（\(y - \bar{y}\)）を求めます。分子はこれらの偏差の積の総和です。分母は、各変数の偏差平方和の積の平方根になります。この割り算によって結果が標準化され、単位に依存せず -1 から +1 の間に収まる値になります。
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
計算例
X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5 とします。平均はそれぞれ \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\) です。偏差の積の総和 \(\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6\)、\(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\)、\(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\) となります。したがって $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ となり、かなり強い正の線形関係があることがわかります。
よくある質問
\(r^2\) は何を表すの？ \(r^2\) は \(r\) を2乗した値で、Y のばらつきのうち X との線形関係によって説明できる割合を示します。\(r\) が 0.7746 のとき \(r^2 \approx 0.6\) となり、分散のおよそ60%が説明できることを意味します。
相関があれば因果関係も証明できる？ いいえ。\(r\) が高いということは2つの変数が連動して動くことを示すだけで、一方がもう一方の原因であることを証明するものではありません。
\(r\) がちょうど0だったら？ 線形の関連はまったくないことを意味します。ただし、ピアソンの \(r\) では捉えられない非線形の関係が存在している可能性は残ります。
