¿Qué es el coeficiente de correlación de Pearson?
El coeficiente de correlación de Pearson, representado con la letra r, mide con qué fuerza se relacionan dos variables numéricas siguiendo una línea recta (relación lineal). Su valor siempre se sitúa entre -1 y +1. Un resultado cercano a +1 indica que las variables aumentan juntas; cercano a -1 significa que una sube mientras la otra baja; y próximo a 0 revela poca o ninguna relación lineal. Es una herramienta universal: sirve para cualquier conjunto de datos numéricos emparejados, sea cual sea el campo de estudio.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tus valores de X y tus valores de Y, separados por comas o espacios. Cada X debe corresponderse con la Y que ocupa la misma posición, por lo que ambas listas deben tener el mismo número de elementos. Pulsa en calcular para obtener r, junto con el coeficiente de determinación (r²), la pendiente y el intercepto de la regresión por mínimos cuadrados, y la covarianza.
La fórmula, paso a paso
Para cada punto de datos se calcula la desviación de x respecto a su media \((x - \bar{x})\) y la de y respecto a su media \((y - \bar{y})\). El numerador suma los productos de estas desviaciones. El denominador es la raíz cuadrada del producto de las desviaciones cuadráticas sumadas de cada variable. Esta división estandariza el resultado, de modo que queda sin unidades y acotado entre -1 y +1.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
$$\begin{gathered} r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i,\quad \bar{y} = \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos X = 1, 2, 3, 4, 5 e Y = 2, 4, 5, 4, 5. Las medias son \(\bar{x} = 3\) e \(\bar{y} = 4\). La suma de los productos cruzados \(\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 6\), \(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\) y \(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\). Por tanto,
$$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$$
lo que indica una relación lineal positiva bastante fuerte.
Preguntas frecuentes
¿Qué me dice r²? Es r al cuadrado y representa la fracción de la variación de Y que explica la relación lineal con X. Una r de 0,7746 da un \(r^2 \approx 0{,}6\), es decir, que aproximadamente el 60 % de la varianza queda explicada.
¿La correlación demuestra causalidad? No. Una r elevada muestra que dos variables se mueven juntas, pero no prueba que una sea la causa de la otra.
¿Y si r es exactamente 0? No existe asociación lineal alguna, aunque podría haber una relación no lineal que el coeficiente de Pearson no es capaz de detectar.
