피어슨 상관계수란?
피어슨 상관계수는 \(r\)로 표기하며, 두 수치형 변수가 직선(선형) 관계로 얼마나 함께 움직이는지를 나타내는 값입니다. 항상 -1과 +1 사이의 값을 가집니다. +1에 가까우면 두 변수가 같이 증가하고, -1에 가까우면 한 변수가 커질수록 다른 변수는 작아지며, 0에 가까우면 선형 관계가 거의 없다는 뜻입니다. 이 계산기는 특정 분야에 국한되지 않으며, 짝지어진 수치 데이터라면 어떤 분야에서도 활용할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
X 값과 Y 값을 각각 입력하되, 쉼표나 공백으로 구분하세요. 각 X 값은 같은 순서에 위치한 Y 값과 짝을 이루므로, 두 목록의 데이터 개수는 반드시 같아야 합니다. '계산' 버튼을 누르면 r은 물론, 결정계수(r²), 최소제곱법 회귀 기울기와 절편, 공분산까지 함께 확인할 수 있습니다.
공식 자세히 보기
먼저 각 데이터 점에서 x가 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지(x − x̄)와 y가 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지(y − ȳ)를 구합니다. 분자는 이 두 편차의 곱을 모두 더한 값입니다. 분모는 각 변수의 편차 제곱합을 곱한 뒤 제곱근을 취한 값입니다. 이렇게 나누면 결과가 표준화되어 단위에 영향을 받지 않고 -1과 +1 사이의 값으로 정해집니다.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
계산 예시
X = 1, 2, 3, 4, 5 이고 Y = 2, 4, 5, 4, 5 라고 해봅시다. 평균은 \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\) 입니다. 편차 곱의 합 \(\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6\), \(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\), \(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\) 이 됩니다. 따라서 $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ 으로, 꽤 강한 양의 선형 관계가 있음을 알 수 있습니다.
자주 묻는 질문
r²는 무엇을 알려주나요? r²는 r을 제곱한 값으로, X와의 선형 관계로 설명되는 Y의 변동 비율을 나타냅니다. r이 0.7746이면 \(r^2 \approx 0.6\) 이므로, 전체 분산의 약 60%가 설명된다는 뜻입니다.
상관관계가 인과관계를 증명하나요? 아닙니다. r 값이 높다는 것은 두 변수가 함께 움직인다는 의미일 뿐, 한쪽이 다른 쪽의 원인이라는 사실을 입증하지는 않습니다.
r이 정확히 0이면 어떤 의미인가요? 선형 관계가 전혀 없다는 뜻입니다. 다만 피어슨 r로는 잡아낼 수 없는 비선형 관계가 여전히 존재할 수도 있습니다.
