이항계수란?
C(n, k) 또는 "n개 중 k개 선택"으로 표기하는 이항계수는, 서로 다른 n개의 원소 중에서 순서에 상관없이 k개를 고르는 경우의 수를 뜻합니다. 조합론과 확률에서 가장 기본이 되는 값으로, 파스칼의 삼각형, 이항정리를 비롯해 수많은 경우의 수 문제에 등장합니다.
계산기 사용법
전체 원소의 개수 n과 고르고자 하는 개수 k를 입력하세요. 계산기가 조합의 수를 정확히 계산해 줍니다. 만약 k가 n보다 크면, 존재하는 것보다 더 많이 고를 수는 없으므로 결과는 0이 됩니다.
공식 설명
기본 정의는 다음과 같습니다.
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
팩토리얼은 값이 매우 빠르게 커지기 때문에, 이 계산기는 이와 동일한 곱셈 형태를 사용합니다. 즉 i = 1…min(k, n−k)에 대해 (n−k+i)/i를 차례로 곱합니다. 이렇게 하면 중간 계산값이 작게 유지되어 오버플로를 막으면서도 동일한 정수 결과를 얻을 수 있습니다.
풀이 예제
카드 5장에서 2장을 뽑는 경우의 수는 몇 가지일까요? $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$으로 계산됩니다. 즉 가능한 조합은 10가지입니다.
파스칼의 삼각형 참조 (작은 n에 대한 C(n,k))
표의 각 항목은 이항 계수 \(\binom{n}{k}\)이며, 각 행 \(n\)이 \(k = 0, 1, \dots, n\)의 값을 나열하도록 배열되어 있습니다. 이는 모든 내부 항목이 그 위 대각선 두 항목의 합과 같은 파스칼의 삼각형을 형성합니다: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). 각 행 내에서 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)이므로 대칭성이 있습니다.
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
예를 들어, \(\binom{10}{3} = \) 120이며, 행 10, 열 \(k=3\)에서 찾을 수 있습니다. 행 \(n\)의 모든 항목의 합은 \(2^n\)과 같습니다 (예: 행 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
더 많은 풀이 예제
다음 예제들은 공식 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)을 적용하며, 곱셈 단축 공식 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\)을 사용하여 거대한 계승이 큰 곱셈 전에 약분되도록 합니다.
예제 1: \(\binom{10}{3}\) — 10개 중 3개 선택하기
\(10!\)의 상위 3개 감소 인수만 \(3!\)로 나눕니다:
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$따라서 순서가 중요하지 않을 때 10개 항목 중 3개 항목을 선택하는 방법은 120가지입니다.
예제 2: \(\binom{6}{6}\) — 모두 선택하기
모든 사용 가능한 항목을 선택하는 방법은 정확히 한 가지입니다. \(k = n\)일 때, \((n-k)!\) 항은 \(0! = 1\)이 됩니다:
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$이는 항등식 \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1을 확인합니다.
예제 3: \(\binom{49}{6}\) — 49개 중 6개 로또
49개의 숫자 풀에서 구별되는 순서 없는 6개 번호 티켓의 수는 6개의 가장 큰 감소 인수를 사용하는 곱셈 단축으로 계산됩니다:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$분자는 \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\)이고, 분모는 \(6! = 720\)입니다:
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$따라서 한 장의 티켓이 6개 번호를 모두 맞힐 확률은 13,983,816분의 1입니다. 대신 순서가 있는 뽑기를 원한다면 순열 \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\)을 사용하겠지만, 일반적인 로또에서는 조합만 중요합니다.
자주 묻는 질문
C(n, 0)은 얼마인가요? 항상 1입니다. 아무것도 고르지 않는 방법은 단 한 가지뿐이기 때문입니다.
C(n, k)와 C(n, n−k)는 같나요? 네, 이항계수는 대칭입니다. 남길 k개를 고르는 것과 제외할 n−k개를 고르는 것은 결국 같은 일이기 때문입니다.
조합과 순열은 무엇이 다른가요? 조합은 순서를 따지지 않지만, 순열은 순서를 구분합니다. 순열의 수는 \(\binom{n}{k} \times k!\)로 구합니다.
