제2종 완전 타원적분이란?
제2종 완전 타원적분은 \(E(k)\)로 표기하며, 0부터 \(\pi/2\)까지 \(\sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\)를 적분해 정의되는 특수 함수입니다. 타원의 정확한 둘레, 사인파의 호 길이, 진폭이 큰 단진자의 주기, 타원형 균열의 응력확대계수 등을 계산할 때 어김없이 등장합니다. 입력값 \(k\)는 모듈러스(modulus)라고 부르며 반드시 \(-1\)과 \(1\) 사이에 있어야 합니다.
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
계산기 사용법
모듈러스 \(k\)(\(-1\)부터 \(1\)까지의 무차원 수)를 입력하면 \(E(k)\) 값을 바로 확인할 수 있습니다. 피적분함수가 \(k^{2}\)에만 의존하기 때문에 결과는 대칭이며, 즉 \(E(-k) = E(k)\)가 성립합니다. 함수값은 \(E(0) = \pi/2\)에서 \(E(1) = 1\)까지 매끄럽게 감소합니다. 이 계산기는 일부 문헌에서 쓰는 매개변수 \(m = k^{2}\)이 아니라 모듈러스 \(k\)를 직접 입력받는다는 점에 유의하세요.
공식 풀이
\(E(k)\)는 2차 수렴하는 산술기하평균(AGM, arithmetic-geometric mean)으로 계산합니다. 초깃값을 \(a_{0} = 1\), \(b_{0} = \sqrt{1 - k^{2}}\), \(c_{0} = k\)로 두고, 각 단계마다 \(a = (a + b)/2\), \(b = \sqrt{a\cdot b}\), \(c = (a - b)/2\)를 \(c\)가 충분히 작아질 때까지 반복합니다. 그러면 제1종 적분은 \(K(k) = \pi / (2\cdot a_{n})\)이 되고, \(E(k) = K(k)\cdot(1 - (1/2)\cdot\sum 2^{n}\cdot c_{n}^{2})\)로 구해집니다. 이 방법은 수렴이 느린 멱급수를 피하면서도 단 몇 번의 반복만으로 기계 정밀도(machine precision)에 도달합니다.
계산 예시
\(k = 0.1\)이면 \(m = 0.01\)입니다. AGM을 적용하면 \(a_{n} \approx 0.997492\), \(c^{2}\) 합 \(S \approx 0.01001256\)이 되어 \(K \approx 1.5747456\), \(E = K(1 - 0.5\cdot S) \approx 1.566862\)를 얻습니다. 이는 급수 근사식 \(E(k) \approx (\pi/2)(1 - (1/4)k^{2} - (3/64)k^{4})\)와도 잘 일치합니다.
자주 묻는 질문
\(E(0)\)은 얼마인가요? 피적분함수가 1로 단순해지므로 정확히 \(\pi/2 \approx 1.5707963\)입니다.
\(E(1)\)은 얼마인가요? 정확히 1입니다. 피적분함수가 \(\cos\theta\)가 되고, 이를 0부터 \(\pi/2\)까지 적분하면 1이기 때문입니다.
\(k\)는 왜 \(-1\)과 \(1\)로 제한되나요? 이 범위를 벗어나면 일부 \(\theta\)에서 피적분함수가 허수가 되어 \(E(k)\)가 더 이상 실수가 아니기 때문입니다.
