토러스란?
토러스는 도넛처럼 생긴 입체로, 같은 평면 위에 있으면서 원과 닿지 않는 축을 중심으로 원을 한 바퀴 회전시켜 만든 도형입니다. 특정 국가나 지역에 한정되지 않는 순수 기하학 개념이라 전 세계 어디서나 동일하게 적용됩니다. 이 계산기는 측정하기 쉬운 두 반지름으로 토러스를 정의합니다. 하나는 가운데 구멍의 반지름인 안쪽 반지름이고, 다른 하나는 중심축에서 고리 바깥쪽 가장자리까지의 거리인 바깥쪽 반지름입니다.
사용 방법
안쪽 반지름과 바깥쪽 반지름을 같은 길이 단위로 입력하세요(센티미터, 인치, 미터 등 무엇이든 좋지만 두 값의 단위는 반드시 일치해야 합니다). 바깥쪽 반지름은 안쪽 반지름보다 커야 합니다. 계산기는 부피를 세제곱 단위로, 표면적을 제곱 단위로 알려 주며, 내부적으로 도출한 두 가지 대표적인 토러스 매개변수도 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
입력한 두 값으로부터 계산기는 표준 토러스 매개변수를 구합니다. 고리의 두께에 해당하는 관 반지름은 \(r = (\text{바깥쪽} - \text{안쪽}) / 2\) 이고, 축에서 관의 중심까지의 거리인 중심 반지름은 \(R = (\text{바깥쪽} + \text{안쪽}) / 2\) 입니다. 부피는 $$V = 2\pi^{2} R\, r^{2}$$ 표면적은 $$S = 4\pi^{2} R\, r$$ 로 구합니다. 표면적은 안쪽 반지름을 \(a\), 바깥쪽 반지름을 \(b\)라고 할 때 $$S = \pi^{2}(b^{2} - a^{2})$$ 로 깔끔하게 정리되기도 합니다.
예제 풀이
안쪽 반지름이 5 cm, 바깥쪽 반지름이 10 cm인 경우를 살펴봅시다. 관 반지름은 \(r = (10 - 5)/2 = 2.5\) cm, 중심 반지름은 \(R = (10 + 5)/2 = 7.5\) cm 입니다. 부피는 $$V = 2\pi^{2} \times 7.5 \times 2.5^{2} \approx 925.28 \text{ cm}^{3}$$ 이고, 표면적은 $$S = 4\pi^{2} \times 7.5 \times 2.5 \approx 740.22 \text{ cm}^{2}$$ 로, \(\pi^{2} \times (100 - 25)\) 와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
안쪽 반지름이 0이면 어떻게 되나요? 구멍이 한 점으로 닫히는 혼 토러스(horn torus)가 됩니다(\(R = r\)). 이 경우에도 공식은 올바르게 계산됩니다.
왜 바깥쪽 반지름이 안쪽 반지름보다 커야 하나요? 그렇지 않으면 관 반지름이 0 또는 음수가 되어 유효한 고리 형태의 입체가 만들어지지 않기 때문입니다. 이 경우 계산기는 0을 반환합니다.
어떤 단위를 사용하나요? 두 입력값에 사용하는 단위는 무엇이든 상관없습니다. 부피는 그 단위의 세제곱으로, 표면적은 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
