이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 일반적인 삼축 타원체(triaxial ellipsoid)의 부피와 겉넓이를 계산합니다. 타원체는 세 개의 반축 \(a\), \(b\), \(c\)로 정의되는 매끄러운 곡면 입체입니다. 세 반축이 모두 같으면 구(sphere)가 되고, 두 개만 같으면 회전 타원체(spheroid)가 됩니다. 어떤 양의 값이든 입력할 수 있으며, 결과는 일관된 단위로 제공됩니다 — 부피는 단위³, 겉넓이는 단위².
사용 방법
세 반축의 길이(각 주축 방향 전체 너비의 절반)를 같은 단위로 입력하세요 — 전부 센티미터든, 전부 인치든 자유롭게 쓰면 됩니다. 입력 순서는 상관없으며, 계산기가 내부에서 축을 자동으로 정렬합니다. 세 값 모두 0보다 커야 합니다. '계산' 버튼을 누르면 부피와 겉넓이가 함께 표시됩니다.
공식 설명
부피는 간단한 정확한 공식을 따릅니다: $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ 하지만 겉넓이는 훨씬 까다롭습니다. 삼축 타원체에는 초등 함수로 표현되는 닫힌형 겉넓이 공식이 존재하지 않습니다. 정확한 값은 제1종 불완전 타원적분 \(F(\phi,k)\)와 제2종 \(E(\phi,k)\)를 사용합니다. 반축을 \(p \ge q \ge r\) 순서로 정렬한 뒤 \(\cos\phi = r/p\), \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\)로 두고 $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$를 계산합니다. 이 계산기는 \(F\)와 \(E\)를 고해상도 복합 심프슨 적분으로 구하며, 피적분함수가 매끄러워 빠르게 수렴합니다.
계산 예시
\(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\)인 경우: 부피 $$V = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25.133 \text{ 단위}^{3}.$$ 정렬하면 \(p=3\), \(q=2\), \(r=1\)이므로 \(\cos\phi = 1/3\), \(\phi \approx 1.23096\) rad, \(k^{2} = 27/32 = 0.84375\). 수치적으로 \(F \approx 1.54125\), \(E \approx 1.00526\)가 되어 \(S \approx 48.88\) 단위²가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 간단한 겉넓이 공식이 없나요? 부피와 달리, 삼축 타원체의 표면적분은 초등 함수로 표현할 수 없으며 본질적으로 타원적분을 필요로 하기 때문입니다.
구(sphere)는 어떻게 되나요? 세 반축이 모두 같으면 계산기가 곧바로 \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\), \(S = 4\pi a^{2}\)로 처리합니다.
단위가 중요한가요? 세 입력값에 모두 같은 단위를 사용하세요. 부피는 그 단위의 세제곱, 겉넓이는 제곱으로 나옵니다.
