この計算ツールでできること
このツールは、一般的な（三軸不等の）楕円体の体積と表面積を計算します。楕円体とは、3つの半軸 a・b・c で表される、なめらかに丸みを帯びた立体です。3つの半軸がすべて等しい場合は球、2つだけが等しい場合は回転楕円体（スフェロイド）になります。半軸はすべて正の値であれば計算でき、結果は単位をそろえた形で、体積は単位³、表面積は単位²で返します。
使い方
3つの半軸の長さ（各主軸方向の全幅の半分）を、同じ単位で入力してください。すべてセンチメートル、あるいはすべてインチなど、単位はそろっていれば何でも構いません。入力する順序は問いません。ツール内部で自動的に並べ替えて計算します。3つの値はすべて 0 より大きい必要があります。「計算」を押すと、体積と表面積の両方が表示されます。
計算式の解説
体積はシンプルな厳密式 $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ で求められます。一方、表面積はずっと複雑です。三軸不等楕円体の表面積には初等関数による閉じた式が存在しません。正確な値を得るには、第1種不完全楕円積分 \(F(\phi,k)\) と第2種不完全楕円積分 \(E(\phi,k)\) を用います。半軸を \(p \ge q \ge r\) となるように並べ替えたうえで、\(\cos\phi = r/p\)、\(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\) とおき、$$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ を計算します。本ツールでは \(F\) と \(E\) を高分解能の複合シンプソン法による数値積分で評価しています。被積分関数がなめらかなため、計算は速やかに収束します。
計算例
\(a = 3\)、\(b = 2\)、\(c = 1\) の場合、体積は $$\frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25.133 \text{ 単位}^{3}$$ となります。並べ替えると \(p=3\)、\(q=2\)、\(r=1\) なので、\(\cos\phi = 1/3\)、\(\phi \approx 1.23096\) ラジアン、\(k^{2} = 27/32 = 0.84375\) です。数値計算では \(F \approx 1.54125\)、\(E \approx 1.00526\) となり、表面積は \(S \approx 48.88\) 単位² と求まります。
よくある質問
なぜ簡単な表面積の式がないのですか？ 体積とは異なり、三軸不等楕円体の表面積を表す積分は初等関数では表現できず、本質的に楕円積分が必要になります。
球の場合はどうなりますか？ 3つの半軸がすべて等しい場合、ツールは自動的に \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\)、\(S = 4\pi a^{2}\) に切り替えて計算します。
単位は重要ですか？ 3つの入力にはすべて同じ単位を使ってください。体積はその単位の3乗、表面積は2乗で出力されます。
