ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الحجم ومساحة السطح لقطع ناقص عام (ثلاثي المحاور) — وهو مجسم مستدير ناعم تصفه ثلاثة أنصاف محاور هي a وb وc. والكرة حالة خاصة منه تتساوى فيها المحاور الثلاثة، أما المجسم المفلطح (السبيرويد) فهو الحالة التي يتساوى فيها محوران. تعمل الأداة مع أي قيم موجبة وتعيد النتائج بوحدات متناسقة: الحجم بالوحدة³ ومساحة السطح بالوحدة².
طريقة الاستخدام
أدخل أطوال أنصاف المحاور الثلاثة (أي نصف العرض الكامل على امتداد كل محور رئيسي) باستخدام الوحدة نفسها — كلها بالسنتيمتر، أو كلها بالبوصة، أو أي وحدة تفضّلها. لا يهم الترتيب؛ إذ تقوم الأداة بترتيب المحاور داخليًا. ويجب أن تكون القيم الثلاث أكبر من الصفر. اضغط على زر الحساب لتظهر لك الكميتان معًا.
شرح الصيغ
للحجم صيغة دقيقة وبسيطة هي $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ أما مساحة السطح فأصعب بكثير: فالقطع الناقص ثلاثي المحاور لا يملك صيغة مغلقة أوّلية لمساحته. تستخدم النتيجة الدقيقة تكاملات إهليلجية ناقصة من النوع الأول \(F(\phi,k)\) والنوع الثاني \(E(\phi,k)\). وبعد ترتيب أنصاف المحاور بحيث يكون \(p \ge q \ge r\)، نضع \(\cos\phi = r/p\) و \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\)، ثم نحسب $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ تحسب هذه الحاسبة قيمتي \(F\) و\(E\) عبر تكامل سيمبسون المركّب عالي الدقة، وهو يتقارب بسرعة لأن الدوال المُكامَلة ناعمة.
مثال محلول
لنفترض \(a = 3\)، \(b = 2\)، \(c = 1\): $$V = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25.133 \text{ وحدة}^3$$ وبعد الترتيب نحصل على \(p=3\) و\(q=2\) و\(r=1\)، ومن ثم \(\cos\phi = 1/3\) و\(\phi \approx 1.23096\) راديان و\(k^{2} = 27/32 = 0.84375\). وعدديًا نجد \(F \approx 1.54125\) و\(E \approx 1.00526\)، فتكون \(S \approx 48.88\) وحدة².
الأسئلة الشائعة
لماذا لا توجد صيغة بسيطة للمساحة؟ على خلاف الحجم، لا يمكن التعبير عن تكامل سطح القطع الناقص ثلاثي المحاور بدوال أوّلية؛ فهو يستلزم بطبيعته تكاملات إهليلجية.
وماذا عن الكرة؟ إذا تساوت المحاور الثلاثة فإن الأداة تختصر الحساب مباشرةً إلى \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) و\(S = 4\pi a^{2}\).
هل تهمّ الوحدات؟ استخدم الوحدة نفسها لجميع المدخلات الثلاثة؛ فيخرج الحجم مكعّبًا والمساحة مربّعة بتلك الوحدة.
