ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تُنفّذ هذه الأداة تحويل دوران المحاور الكلاسيكي المعروف في الهندسة التحليلية المستوية. كل ما عليك هو إدخال نقطة بإحداثيات (x، y) مقاسة بالنسبة إلى المحاور الأصلية، إضافة إلى الزاوية ثيتا التي تدور بها محاور الإحداثيات عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. وتعيد لك الحاسبة إحداثيات (X، Y) لنفس النقطة الثابتة كما تُرى في المحاور الجديدة بعد الدوران. وهذا تحويل سلبي (passive): النقطة تبقى في مكانها بينما تدور المحاور.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمتي x وy الأصليتين، ثم اكتب زاوية الدوران ثيتا، واختر ما إذا كانت الزاوية بالدرجات أم بالراديان. الزاوية الموجبة تُدوّر المحاور عكس اتجاه عقارب الساعة، أما إذا أردت الدوران مع اتجاه عقارب الساعة فأدخل رقمًا سالبًا. اضغط على زر الحساب لتحصل على الإحداثيات الجديدة X وY، مع الزاوية معبَّرًا عنها بالراديان.
شرح المعادلة
يُعطى التحويل بالعلاقتين:
$$\begin{aligned} X &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ Y &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$وفي الصورة المصفوفية تكون هذه مصفوفة الدوران التي تحمل \(\cos\theta\) على القطر الرئيسي وقيمتي \(\sin\theta\) و\(-\sin\theta\) خارج القطر. ولأنها مصفوفة متعامدة (orthogonal)، فإن المسافة عن نقطة الأصل تبقى محفوظة: مجموع مربع X ومربع Y يساوي دائمًا مجموع مربع x ومربع y، وهي وسيلة سريعة للتحقق من صحة النتيجة.
مثال محلول
لنأخذ \(x = 3\)، و\(y = 4\)، و\(\theta = 30\) درجة. عندئذٍ \(\cos 30 = 0.8660254\) و\(\sin 30 = 0.5\). فيكون
$$X = 3(0.8660254) + 4(0.5) = 4.59807621$$$$Y = -3(0.5) + 4(0.8660254) = 1.96410162$$وللتحقق: \(4.59807621^2 + 1.96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2\)، ما يؤكد أن المسافة قد حُفِظت.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين تدوير المحاور وتدوير النقطة؟ تدوير المحاور (وهو ما تفعله هذه الأداة) تحويل سلبي. أما تدوير النقطة نفسها فهو النسخة النشطة (active) ويستخدم اصطلاح الإشارات المنقول: \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\)، و\(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\).
هل يمكنني إدخال زوايا أكبر من 360 درجة؟ نعم. تعمل الأداة مع أي زاوية حقيقية لأن الدوال المثلثية تتكرر دوريًا بشكل طبيعي؛ فالقيم خارج المدى من 0 إلى 360 تعطي نتائج مكافئة.
لماذا تبقى المسافة عن نقطة الأصل من دون تغيير؟ الدوران تحويل حافظ للمسافات (isometry): فهو يحفظ الأطوال والزوايا، ولذلك تكون المسافة القطرية للنقطة عن نقطة الأصل واحدة في كلا نظامي الإحداثيات.
