Qué hace esta calculadora
Esta herramienta realiza la clásica transformación de rotación de ejes de la geometría analítica plana. Tú indicas un punto con coordenadas (x, y) medidas en los ejes originales y un ángulo theta con el que los ejes coordenados giran en sentido antihorario alrededor del origen. La calculadora devuelve las coordenadas (X, Y) de ese mismo punto fijo vistas desde los nuevos ejes girados. Se trata de una transformación pasiva: el punto permanece quieto mientras los ejes rotan.
Cómo usarla
Introduce los valores originales de x e y, escribe el ángulo de rotación theta y elige si theta está en grados o en radianes. Un ángulo positivo gira los ejes en sentido antihorario; escribe un número negativo para una rotación en sentido horario. Pulsa calcular para obtener las nuevas coordenadas X e Y, junto con el ángulo expresado en radianes.
La fórmula explicada
La transformación es $$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ y^{\prime} &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$ En forma matricial, se trata de la matriz de rotación con \(\cos\theta\) en la diagonal y \(\sin\theta\)/\(-\sin\theta\) fuera de ella. Al ser una matriz ortogonal, la distancia al origen se conserva: \(X^2 + Y^2\) siempre es igual a \(x^2 + y^2\), una comprobación muy útil para verificar el resultado.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 3\), \(y = 4\), \(\theta = 30\) grados. Entonces \(\cos 30 = 0{,}8660254\) y \(\sin 30 = 0{,}5\). Así, $$X = 3(0{,}8660254) + 4(0{,}5) = 4{,}59807621$$ e $$Y = -3(0{,}5) + 4(0{,}8660254) = 1{,}96410162$$ Comprobación: \(4{,}59807621^2 + 1{,}96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2\), lo que confirma que la distancia se conserva.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre girar los ejes y girar el punto? Girar los ejes (lo que hace esta herramienta) es una transformación pasiva. Girar el propio punto es la versión activa y usa la convención de signos traspuesta: \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\).
¿Puedo introducir ángulos mayores de 360 grados? Sí. Cualquier ángulo real es válido, porque las funciones trigonométricas son periódicas; los valores fuera del intervalo de 0 a 360 dan resultados equivalentes.
¿Por qué no cambia la distancia al origen? Una rotación es una isometría: conserva longitudes y ángulos, por lo que la distancia radial del punto al origen es idéntica en ambos sistemas de coordenadas.
