Công cụ này làm gì
Công cụ này thực hiện phép biến đổi quay trục tọa độ kinh điển trong hình học giải tích phẳng. Bạn nhập một điểm có tọa độ (x, y) đo theo hệ trục ban đầu cùng với góc theta mà hệ trục được quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Máy tính sẽ trả về tọa độ (X, Y) của chính điểm cố định đó nhưng nhìn từ hệ trục mới đã quay. Đây là phép biến đổi thụ động: điểm đứng yên, chỉ có hệ trục xoay đi.
Cách sử dụng
Nhập giá trị x và y ban đầu, nhập góc quay theta, rồi chọn đơn vị cho theta là độ hay radian. Góc dương ứng với việc quay hệ trục ngược chiều kim đồng hồ; nhập số âm nếu muốn quay theo chiều kim đồng hồ. Bấm tính để nhận tọa độ mới X và Y, kèm theo giá trị góc quy đổi sang radian.
Giải thích công thức
Phép biến đổi có dạng
$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ y^{\prime} &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$Viết dưới dạng ma trận, đây chính là ma trận quay với \(\cos\theta\) nằm trên đường chéo và \(\sin\theta\)/\(-\sin\theta\) ở hai vị trí còn lại. Vì đây là ma trận trực giao nên khoảng cách đến gốc tọa độ được bảo toàn: \(X^2 + Y^2\) luôn bằng \(x^2 + y^2\) — một cách kiểm tra kết quả rất tiện.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 3\), \(y = 4\), \(\theta = 30^\circ\). Khi đó \(\cos 30^\circ = 0{,}8660254\) và \(\sin 30^\circ = 0{,}5\). Vậy
$$X = 3\cdot(0{,}8660254) + 4\cdot(0{,}5) = 4{,}59807621$$$$Y = -3\cdot(0{,}5) + 4\cdot(0{,}8660254) = 1{,}96410162$$Kiểm tra lại: \(4{,}59807621^2 + 1{,}96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2\), đúng là khoảng cách được bảo toàn.
Câu hỏi thường gặp
Quay trục và quay điểm khác nhau ở chỗ nào? Quay trục (công cụ này) là phép biến đổi thụ động. Còn quay chính điểm đó là phiên bản chủ động, dùng quy ước dấu chuyển vị: \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\).
Tôi có thể nhập góc lớn hơn 360 độ không? Có. Mọi góc thực đều dùng được vì các hàm lượng giác tự lặp theo chu kỳ; các giá trị nằm ngoài khoảng 0 đến 360 sẽ cho kết quả tương đương.
Vì sao khoảng cách đến gốc tọa độ không đổi? Phép quay là một phép đẳng cự: nó bảo toàn độ dài và góc, nên khoảng cách hướng tâm của điểm tới gốc tọa độ là như nhau trong cả hai hệ trục.
