Tọa độ cầu là gì?
Tọa độ cầu xác định một điểm trong không gian 3 chiều bằng ba giá trị: bán kính \(\rho\) (rho) tính từ gốc tọa độ, góc phương vị \(\theta\) (theta) đo trong mặt phẳng xy kể từ trục x dương, và góc cực \(\varphi\) (phi) đo từ trục z dương hướng xuống. Công cụ này chuyển tọa độ Đề-các thông thường (x, y, z) sang hệ tọa độ cầu (\(\rho\), \(\theta\), \(\varphi\)) — hệ được dùng rộng rãi trong vật lý, thiên văn học, đồ họa máy tính và kỹ thuật.
Cách sử dụng
Nhập ba thành phần Đề-các x, y và z của điểm cần tính, rồi đọc kết quả \(\rho\), \(\theta\) và \(\varphi\). Các góc được hiển thị đồng thời theo radian và độ. Góc phương vị dùng hàm atan2 nên xác định đúng góc phần tư, với khoảng giá trị (−180°, 180°]; góc cực nằm trong khoảng từ 0° đến 180°.
Giải thích công thức
Bán kính chính là độ dài Pythagoras trong không gian 3 chiều: $$\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$ Góc phương vị $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\, \text{x}\right)$$ cho biết góc quay quanh trục z. Góc cực $$\varphi = \arccos\!\left(\frac{\text{z}}{\rho}\right)$$ cho biết độ nghiêng so với trục thẳng đứng. Khi \(\rho = 0\) (tại gốc tọa độ) thì các góc không xác định, nên \(\varphi\) được mặc định bằng 0.
Ví dụ minh họa
Với điểm (1, 1, 1): $$\rho = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(1,\, 1) = 45° = 0{,}7853982 \text{ rad}$$ $$\varphi = \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \arccos(0{,}5773503) \approx 0{,}9553166 \text{ rad} \approx 54{,}7356°$$
Câu hỏi thường gặp
Công cụ dùng quy ước góc nào? Quy ước theo vật lý/ISO: \(\theta\) là góc phương vị còn \(\varphi\) là góc cực (góc nghiêng) tính từ trục z.
Vì sao dùng atan2 thay vì arctan? \(\operatorname{atan2}(\text{y}, \text{x})\) trả về đúng góc phần tư với mọi dấu của x và y, khác với \(\arctan(\text{y}/\text{x})\) thông thường.
Nếu mọi giá trị nhập đều bằng 0 thì sao? Khi đó \(\rho\) bằng 0 và các góc về mặt toán học là không xác định; công cụ sẽ trả về \(\theta = 0\) và \(\varphi = 0\).
