Tọa độ trụ là gì?
Tọa độ trụ xác định vị trí của một điểm trong không gian 3 chiều thông qua bán kính r, góc θ và chiều cao z. Về bản chất, hệ này mở rộng từ tọa độ cực 2 chiều bằng cách giữ nguyên trục z của hệ Descartes. Nhờ vậy, tọa độ trụ đặc biệt phù hợp với những bài toán có tính đối xứng quay quanh một trục — chẳng hạn ống dẫn, hình trụ, trường điện từ và dòng chảy chất lỏng.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên, hãy chọn chiều chuyển đổi. Với hướng Descartes → Trụ, bạn nhập các giá trị x, y, z; công cụ sẽ trả về r, θ (tính theo độ) và z. Với hướng Trụ → Descartes, bạn nhập r, θ (độ) và z để nhận lại x, y, z. Góc được tính bằng hàm arctang hai biến (atan2) nên kết quả luôn rơi vào đúng góc phần tư.
Giải thích công thức
Bán kính chính là khoảng cách thẳng từ điểm đến trục z: $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ Góc được tính theo $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(y,\ x\right)$$ cho ra giá trị nằm trong khoảng từ −180° đến 180°, xử lý chính xác cả bốn góc phần tư lẫn các trục tọa độ. Chiều cao \(z\) giữ nguyên trong cả hai hệ. Ngược lại, ta có $$x = r\cos\theta$$ và $$y = r\sin\theta$$
Ví dụ minh họa
Hãy chuyển đổi điểm Descartes (3, 4, 5). Bán kính là \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Góc là \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53{,}13°\). Chiều cao vẫn giữ nguyên là 5. Như vậy, tọa độ trụ tương ứng là (5; 53,13°; 5).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao dùng atan2 thay cho arctan(y/x)? Hàm arctan thông thường làm mất thông tin về góc phần tư và không xác định được khi x = 0. Trong khi đó, atan2 xử lý đúng mọi trường hợp.
Góc tính theo độ hay radian? Để thuận tiện, máy tính này hiển thị và nhận giá trị θ theo độ; bên trong, công cụ tự động chuyển sang radian khi tính các hàm lượng giác.
Nếu cả x và y đều bằng 0 thì sao? Khi đó điểm nằm ngay trên trục z, nên r = 0 và theo quy ước, θ được lấy bằng 0°.
