柱坐标换算器

输入计算

换算方向 Cartesian → Cylindrical Cylindrical → Cartesian

x

y

z

r（半径）

θ（度）

直角坐标 → 柱坐标时填写 x、y、z；柱坐标 → 直角坐标时填写 r、θ（度）、z。

结果

换算结果

(5, 53.1301°, 5)

柱坐标 (r, θ, z)

x	3
y	4
z	5
r（半径）	5
θ（度）	53.130102°

什么是柱坐标？

柱坐标用半径 r、角度 θ 和高度 z 三个量来确定三维空间中的一个点。它其实是在二维极坐标的基础上，原封不动地保留了直角坐标系中的 z 轴。对于绕某条轴线呈旋转对称的问题——比如管道、圆柱体、电磁场以及流体流动——柱坐标系特别好用。

由半径 r、方位角 θ 及 xy 平面上方高度 z 确定的点 P。

如何使用本换算器

先选择换算方向。若选择 直角坐标 → 柱坐标，输入 x、y、z 三个值，工具会返回 r、θ（以度为单位）和 z；若选择 柱坐标 → 直角坐标，则输入 r、θ（度）和 z，即可得到 x、y、z。角度采用双参数反正切函数（atan2）计算，因此始终能落在正确的象限。

公式详解

半径是该点到 z 轴的垂直距离：

$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

角度用

$$\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)$$

计算，结果落在 −180° 到 180° 之间，能正确处理四个象限以及坐标轴上的特殊情况。高度 \(z\) 在两种坐标系中完全一致。反向换算则是 \(x = r\cos\theta\) 和 \(y = r\sin\theta\)。

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沿 z 轴俯视：r 和 θ 通过一个直角三角形与 x、y 相关联。

实例演算

把直角坐标点 (3, 4, 5) 换算成柱坐标。半径为 \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)；角度为 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.13°\)；高度保持 5 不变。因此对应的柱坐标为 (5, 53.13°, 5)。

常见问题

为什么用 atan2 而不是 arctan(y/x)？ 普通的 arctan 会丢失象限信息，而且当 x = 0 时没有定义。atan2 则能正确处理所有情况。

角度是用度还是弧度？ 为方便起见，本换算器的 θ 输入和显示都用度；在内部计算三角函数时会自动转换为弧度。

如果 x 和 y 都为零怎么办？ 此时该点正好位于 z 轴上，所以 r = 0，θ 按惯例取 0°。