원기둥 좌표계란?
원기둥 좌표계(cylindrical coordinates)는 3차원 공간의 한 점을 반지름 r, 각도 θ, 높이 z로 나타내는 방식입니다. 2차원 극좌표계에 직교좌표의 z축을 그대로 더한 형태라고 보면 됩니다. 축을 중심으로 회전 대칭을 갖는 문제에 특히 잘 어울리는데, 배관이나 원통, 전자기장, 유체 흐름 해석 등에서 널리 쓰입니다.
계산기 사용법
먼저 변환 방향을 선택하세요. 직교 → 원기둥의 경우 x, y, z 값을 입력하면 r, θ(도 단위), z를 돌려줍니다. 반대로 원기둥 → 직교는 r, θ(도), z를 넣으면 x, y, z를 계산합니다. 각도는 두 인수를 받는 아크탄젠트(atan2)로 구하므로 항상 올바른 사분면이 선택됩니다.
공식 풀어보기
반지름은 z축으로부터의 직선 거리입니다: $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ 각도는 $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(y,\ x\right)$$로 구하며, 이 값은 −180°에서 180° 사이로 나와 네 사분면과 축 위의 점을 모두 정확하게 처리합니다. 높이 \(z\)는 두 좌표계에서 동일합니다. 역변환은 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)입니다.
예제로 확인하기
직교좌표 점 (3, 4, 5)를 변환해 봅시다. 반지름은 $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$입니다. 각도는 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.13°\)입니다. 높이는 그대로 5로 유지됩니다. 따라서 원기둥 좌표는 (5, 53.13°, 5)가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 arctan(y/x) 대신 atan2를 쓰나요? 일반 아크탄젠트는 사분면 정보를 잃어버리고, x = 0일 때는 값이 정의되지 않습니다. 반면 atan2는 모든 경우를 올바르게 처리합니다.
각도는 도(degree)인가요, 라디안인가요? 이 계산기는 편의를 위해 θ를 도 단위로 표시하고 입력받습니다. 내부적으로는 삼각함수 계산을 위해 라디안으로 변환합니다.
x와 y가 모두 0이면 어떻게 되나요? 그 점은 z축 위에 있으므로 r = 0이고, θ는 관례적으로 0°로 둡니다.
