구면좌표란?
구면좌표는 3차원 공간 속 한 점을 세 가지 값으로 나타내는 방식입니다. 원점에서 점까지의 반지름 거리 \(\rho\)(rho), xy-평면에서 양의 x축을 기준으로 측정한 방위각 \(\theta\)(theta), 그리고 양의 z축에서 아래로 측정한 극각 \(\varphi\)(phi)가 그것입니다. 이 계산기는 일반적인 직교좌표(x, y, z)를 구면좌표계(\(\rho\), \(\theta\), \(\varphi\))로 변환해 줍니다. 구면좌표는 물리학, 천문학, 컴퓨터 그래픽스, 공학 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용됩니다.
사용 방법
점의 직교좌표 성분인 x, y, z 세 값을 입력하면 \(\rho\), \(\theta\), \(\varphi\)를 바로 확인할 수 있습니다. 각도는 라디안과 도(°) 두 가지 단위로 함께 표시됩니다. 방위각은 atan2 함수를 사용하므로 사분면을 정확하게 구분하며, 값의 범위는 (−180°, 180°]입니다. 극각의 범위는 0°부터 180°까지입니다.
공식 풀이
반지름 거리는 3차원 피타고라스 정리로 구한 길이로, 다음과 같습니다.
$$\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$방위각 \(\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\, \text{x}\right)\)는 z축을 중심으로 회전한 각도를 나타냅니다.
$$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\, \text{x}\right)$$극각 \(\varphi = \arccos\!\left(\frac{\text{z}}{\rho}\right)\)는 수직축에서 얼마나 기울어졌는지를 나타냅니다.
$$\varphi = \arccos\!\left(\frac{\text{z}}{\rho}\right)$$\(\rho = 0\)인 경우(즉 원점)에는 각도가 정의되지 않으므로 \(\varphi\)는 기본값 0으로 처리됩니다.
계산 예시
점 (1, 1, 1)의 경우:
$$\rho = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \approx 1.7320508$$입니다.
$$\theta = \operatorname{atan2}(1, 1) = 45° = 0.7853982 \text{ rad}$$이고,
$$\varphi = \arccos(1/\sqrt{3}) = \arccos(0.5773503) \approx 0.9553166 \text{ rad} \approx 54.7356°$$입니다.
자주 묻는 질문
어떤 각도 규약을 사용하나요? 물리학/ISO 규약을 따릅니다. 즉 \(\theta\)는 방위각, \(\varphi\)는 z축에서 측정한 극각(천정각)입니다.
왜 arctan이 아니라 atan2를 쓰나요? \(\operatorname{atan2}(\text{y}, \text{x})\)는 x와 y의 부호가 어떻든 올바른 사분면을 반환합니다. 단순한 \(\arctan(\text{y}/\text{x})\)으로는 이를 구분할 수 없습니다.
입력값이 모두 0이면 어떻게 되나요? \(\rho\)는 0이 되고 각도는 수학적으로 정의되지 않습니다. 이 경우 계산기는 \(\theta = 0\), \(\varphi = 0\)을 반환합니다.
