이 변환기의 기능
이 도구는 3차원 구면좌표로 표현된 점을 표준 직교좌표(x, y, z)로 변환합니다. 동경 거리 r, x-y 평면에서 측정한 방위각 θ, 그리고 +z축에서 아래로 내려가는 각도인 극각 φ를 입력하면, 그에 해당하는 직각좌표 위치를 계산해 줍니다.
사용하는 각도 정의
두 각도의 이름을 붙이는 방식은 교재마다 다릅니다. 이 계산기는 θ를 방위각(x-y 평면에서의 회전)으로, φ를 극각(+z축에서 기울어진 정도)으로 두는 정의를 사용합니다. 참고하는 자료가 이 둘의 이름을 반대로 쓴다면, 입력 값을 서로 바꿔 넣기만 하면 수식이 그대로 들어맞습니다.
사용 방법
r, θ, φ를 입력한 다음 각도 단위를 도(degree, 기본값) 또는 라디안 중에서 선택하세요. 변환기는 삼각함수를 적용하기 전에 각도를 내부적으로 라디안으로 변환하며(도 단위는 \(\frac{\pi}{180}\)을 곱함), 그 결과 x, y, z를 유효숫자 약 10자리까지 표시합니다.
공식 설명
점은 반지름 \(r\)인 구면 위에 놓여 있습니다. 극각 \(\phi\)는 점이 수직축에서 얼마나 기울어졌는지를 결정합니다:
$$z = r\cos\phi$$수평 방향으로의 투영 길이는 \(r\sin\phi\)이며, 방위각 \(\theta\)가 이 투영을 x축과 y축으로 나누어 다음과 같이 됩니다.
$$x = r\sin\phi\cos\theta,\quad y = r\sin\phi\sin\theta$$
계산 예시
\(r = 5\), \(\theta = 60\)도, \(\phi = 30\)도라고 합시다. 그러면 \(\sin\phi = 0.5\), \(\cos\phi = 0.8660254\), \(\cos\theta = 0.5\), \(\sin\theta = 0.8660254\)입니다. 따라서
$$x = 5 \times 0.5 \times 0.5 = 1.25$$$$y = 5 \times 0.5 \times 0.8660254 = 2.16506351$$$$z = 5 \times 0.8660254 = 4.33012702$$가 됩니다. 직교좌표상의 점은 \((1.25,\ 2.16506351,\ 4.33012702)\)입니다.
자주 묻는 질문
r = 0이면 어떻게 되나요? 각도와 관계없이 점은 원점 \((0, 0, 0)\)에 위치합니다.
각도가 음수이거나 360보다 클 수 있나요? 네, 가능합니다. 삼각함수는 주기성을 가지므로 어떤 실수 각도든 유효하며 올바르게 처리됩니다.
φ = 0은 무엇을 의미하나요? 점이 양(+)의 z축 위에 놓입니다: \(x = y = 0\), \(z = r\). \(\phi\)가 180도이면 점은 음(-)의 z축 위에 위치합니다(\(z = -r\)).
